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https://doi.org/10.11588/diglit.43715#0009
Der Kegelschnitt als Elementverein
9
1, den Linienelementen entsprechend, die den Scheitel der Kurve
enthalten. Die übrigen Kollineationen sind allgemeine symmetri-
sche Kollineationen vom Range 2. Einer Kurve 2. Klasse vom
Range 2 entspricht ein duales Bündel.
5. Kegelschnitte vom Range 1. Das Gleichungssystem von
F. Engel. Nach dem Gesagten ist es klar, daß man schon dann,
wenn man sowohl Kurven 2. Ordnung als auch Kurven 2. Klasse
vom Range 2 als Elementvereine darstellen will, nicht mit einem
der beiden Gleichungssysteme (5) oder (8) auskommen kann. Im
Falle eines Kegelschnittes vom Range 1 versagen aber nach Satz 4
beide Gleichungssysteme, da sie den Rang 2 annehmen. Im 7?s
wird dann nicht mehr ein Rb, sondern ein RG geliefert. An Stelle
einer eindimensionalen tritt eine zweidimensionale Elementman-
nigfaltigkeit. (Figur aller Elemente, deren Punkte auf einer Ge-
raden liegen, oder die duale Figur.)
Dabei ist es geometrisch klar, wie die Ausartungen des Ele-
mentvereinkegelschnittes auszusehen haben. Der reguläre Kegel-
schnitt wird als Ort seiner Elemente auf die rationale Raumkurve
4. Ordnung abgebildet, in der ihr Bild - R- die Bildmannigfaltig-
keit M,G der Linienelemente schneidet. Diese zerfällt für eine
Kurve vom Range 2 in eine doppeltzählende Gerade und zwei
einfach-zählende Trefflinien dieser Geraden. Fallen diese beiden
letzten Trefflinien zusammen, so entsteht das Bild des Linien-
elementkegelschnittes.
Dieser Linienelementkegelschnitt, die Figur aller Elemente mit
einer gemeinsamen Geraden und aller Elemente mit einem ge-
meinsamen, auf dieser Geraden gelegenen Punkt, kann also durch
keines der Systeme (5) oder (8) dargestellt werden.
Daß jedesmal eines der beiden Gleichungssysteme schon bei
Kegelschnitten vom Range 2 versagt, liegt offenbar daran, daß
in (5) der Kegelschnitt als Punktort, in (8) als Linienort eingeht.
Man wird versuchen, diesen Übelstand von vornherein dadurch
abzustellen, daß man von einem in Punkt- und Linienkoordinaten
symmetrischen System ausgeht. Ein solches System hat F. Engel
a. a. 0. aufgestellt. «, ,<?, y seien drei Hilfspunkte, a, b, c drei Hilfs-
geraden, die an die Gleichungen
(10) (aß) = (ba), (by) = {cß'), (ca) = (öy)
gebunden sind. Dann hat das ENGELsche Gleichungssystem die
Gestalt:
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1, den Linienelementen entsprechend, die den Scheitel der Kurve
enthalten. Die übrigen Kollineationen sind allgemeine symmetri-
sche Kollineationen vom Range 2. Einer Kurve 2. Klasse vom
Range 2 entspricht ein duales Bündel.
5. Kegelschnitte vom Range 1. Das Gleichungssystem von
F. Engel. Nach dem Gesagten ist es klar, daß man schon dann,
wenn man sowohl Kurven 2. Ordnung als auch Kurven 2. Klasse
vom Range 2 als Elementvereine darstellen will, nicht mit einem
der beiden Gleichungssysteme (5) oder (8) auskommen kann. Im
Falle eines Kegelschnittes vom Range 1 versagen aber nach Satz 4
beide Gleichungssysteme, da sie den Rang 2 annehmen. Im 7?s
wird dann nicht mehr ein Rb, sondern ein RG geliefert. An Stelle
einer eindimensionalen tritt eine zweidimensionale Elementman-
nigfaltigkeit. (Figur aller Elemente, deren Punkte auf einer Ge-
raden liegen, oder die duale Figur.)
Dabei ist es geometrisch klar, wie die Ausartungen des Ele-
mentvereinkegelschnittes auszusehen haben. Der reguläre Kegel-
schnitt wird als Ort seiner Elemente auf die rationale Raumkurve
4. Ordnung abgebildet, in der ihr Bild - R- die Bildmannigfaltig-
keit M,G der Linienelemente schneidet. Diese zerfällt für eine
Kurve vom Range 2 in eine doppeltzählende Gerade und zwei
einfach-zählende Trefflinien dieser Geraden. Fallen diese beiden
letzten Trefflinien zusammen, so entsteht das Bild des Linien-
elementkegelschnittes.
Dieser Linienelementkegelschnitt, die Figur aller Elemente mit
einer gemeinsamen Geraden und aller Elemente mit einem ge-
meinsamen, auf dieser Geraden gelegenen Punkt, kann also durch
keines der Systeme (5) oder (8) dargestellt werden.
Daß jedesmal eines der beiden Gleichungssysteme schon bei
Kegelschnitten vom Range 2 versagt, liegt offenbar daran, daß
in (5) der Kegelschnitt als Punktort, in (8) als Linienort eingeht.
Man wird versuchen, diesen Übelstand von vornherein dadurch
abzustellen, daß man von einem in Punkt- und Linienkoordinaten
symmetrischen System ausgeht. Ein solches System hat F. Engel
a. a. 0. aufgestellt. «, ,<?, y seien drei Hilfspunkte, a, b, c drei Hilfs-
geraden, die an die Gleichungen
(10) (aß) = (ba), (by) = {cß'), (ca) = (öy)
gebunden sind. Dann hat das ENGELsche Gleichungssystem die
Gestalt: