Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

hyperabelschen Transformationen 7
lieh, wenn eine volle Serie nach G äquivalenter Punkte von £
sich im Innern von X nicht häuft; dabei heißen zwei Punkte
und aus X nach G äquivalent, wenn es ein S C G gibt, sodaß
SU2 = . Unter der Konvergenz einer Substitutionsfolge S), S2,...
soll Konvergenz sämtlicher Koeffizientenfolgen verstanden werden.
Konvergiert die Folge Sn S2,... aus G gegen die Identität, d. h. ist
lim Sm = E ,
m —► oo
und ist dabei Sm=/= E für unendlich viele m, so sagt man, G
enthält infinitesimale Substitutionen. Wir beweisen
Satz 1: Eine Substitutionsgruppe G ist in genau dann dis-
kontinuierlich, wenn G keine infinitesimalen Substitutionen enthält.
Die Behauptung ist invariant gegenüber Transformation von
£ mit einer beliebigen simultanen linear gebrochenen Substi-
tution. Wir können und wollen uns daher zur Vereinfachung des
Beweises £ in den Bereich
| 7(") | < 1 (y = 1 , . . . , /?)
übergeführt denken.
Wir zeigen zunächst, daß G in S nicht diskontinuierlich ist,
wenn G infinitesimale Substitutionen enthält. Dann gibt es näm-
lich eine Folge von Substitutionen Sr C G, sodaß
lim Sh = E, Sk=f= E (/c = 1, 2, ...).
k —>-oo
Wird 10, ..., 0 | gesetzt, so ist
lim Sk == fo •
k —► oo
Daraus ergibt sich, daß G nicht diskontinuierlich ist; wenn unter
den Punkten Sr t0 unendlich viele verschiedene vorkommen, folgt
dies sofort. Man braucht also nur noch den Fall zu untersuchen,
daß für alle k
Sk U ~ 70
gilt. Da Sa- den Polyzylinder 2 in sich überführt, hat Sa- die Gestalt
S‘=(on
wobei cpR nicht für alle Konjugierten verschwinden kann. Wählt
man dr>=^=o, 1 i \ <C 1, so ist i Häufungspunkt der äquivalenten
Punkte Sk t = e2i ^k t =/= t , q. e. d.
Jetzt wird G als nicht diskontinuierlich angenommen und