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https://doi.org/10.11588/diglit.37051#0007
Karl Wilhelm Feuerbach.
7
1810—1831. CARNOTS Meisterwerk darf bis auf den heutigen
Tag als eine schier unerschöpfliche Fundgrube geometrischer
Wahrheiten bezeichnet werden. EuLERS Abhandlung ist die-
jenige. in welcher die später sogenannte Eulersche Gerade,
d. h. die gerade Linie, auf welcher der Höhenschnittpunkt, der
Schwerpunkt und der Mittelpunkt des Umkreises eines ebenen
Dreiecks liegen, zum erstenmal vorkommt. Die GERGONNE'schc
Zeitschrift war während ihrer verhältnismäßig kurzen Lebens-
zeit die hervorragendste mathematische Zeitschrift und ist ins-
besondere für Geometer auch heute noch lesenswert.
I. Die Mittelpunkte der vier Kreise, welche die drei Seiten
des Dreiecks ABC berühren, und welche man heute als Innen-
kreis und als Ankreise zu unterscheiden pflegt, werden durch
S, bzw. durch S', S", S'" bezeichnet. Deren Halbmesser heißen
r, r', r", r'"; die den Eckpunkten A, B, C gegenüberliegenden
Dreiecksseiten heißen a, b, c und A ist der Inhalt des Drei-
ecks ABC. Gleich im § 1 wird gezeigt, daß die Geraden S'S",
S"S"', S'"S' der Reihe'nach die Punkte C, A, B enthalten, und
daß S'A, S"B, S"'G die in S einander schneidenden Höhen des
Dreiecks S'S"S"' sind, bzw. daß A, B, C die Fußpunkte der
Höhen des Dreiecks S'S"S"' sind. Neben dieser an der Figur
2 A
leicht erkennbaren Wahrheit ist bekannt, daß r = , , , ,
a -j- h -p c
2 A
2 A
2 A
—- a b -j- c ' ' a — b P- c ' ^ a -j- b — c '
nun werden die mannigfachsten Kombinationen dieser Gleichungen
vorgenommen, sowohl additiv als multiplikativ. Deren Ergebnisse
bilden der Hauptsache nach den Inhalt des ersten Abschnittes.
II. Am Schlüsse des ersten Abschnittes wird auf die im
§ 1 besprochene Beziehung zwischen den Dreiecken ABC und
S'S"S"' zurückgegriffen und damit der Übergang zum zweiten
Abschnitt gewonnen, d. h. zu den drei Höhen eines Dreiecks
und deren Schnittpunkt. Jetzt heißt allerdings das ,,Elementar-
dreieck", um mit Feuerbach zu reden, nicht S'S"S"', sondern
ABC, die Höhen heißen AM, BN, CP, der Höhenschnittpunkt wird
mit 0 bezeichnet, und MNP entspricht dem Dreieck ABC des
ersten Abschnittes. Das Dreieck MNP empfiehlt sich schon
durch eine, wie in einer Fußnote auf S. 15 hervorgehoben wird,
seit 1775 bekannte Eigenschaft der Beachtung, es besitzt näm-
lich unter allen dem Dreieck ABC einbeschriebenen Dreiecken
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1810—1831. CARNOTS Meisterwerk darf bis auf den heutigen
Tag als eine schier unerschöpfliche Fundgrube geometrischer
Wahrheiten bezeichnet werden. EuLERS Abhandlung ist die-
jenige. in welcher die später sogenannte Eulersche Gerade,
d. h. die gerade Linie, auf welcher der Höhenschnittpunkt, der
Schwerpunkt und der Mittelpunkt des Umkreises eines ebenen
Dreiecks liegen, zum erstenmal vorkommt. Die GERGONNE'schc
Zeitschrift war während ihrer verhältnismäßig kurzen Lebens-
zeit die hervorragendste mathematische Zeitschrift und ist ins-
besondere für Geometer auch heute noch lesenswert.
I. Die Mittelpunkte der vier Kreise, welche die drei Seiten
des Dreiecks ABC berühren, und welche man heute als Innen-
kreis und als Ankreise zu unterscheiden pflegt, werden durch
S, bzw. durch S', S", S'" bezeichnet. Deren Halbmesser heißen
r, r', r", r'"; die den Eckpunkten A, B, C gegenüberliegenden
Dreiecksseiten heißen a, b, c und A ist der Inhalt des Drei-
ecks ABC. Gleich im § 1 wird gezeigt, daß die Geraden S'S",
S"S"', S'"S' der Reihe'nach die Punkte C, A, B enthalten, und
daß S'A, S"B, S"'G die in S einander schneidenden Höhen des
Dreiecks S'S"S"' sind, bzw. daß A, B, C die Fußpunkte der
Höhen des Dreiecks S'S"S"' sind. Neben dieser an der Figur
2 A
leicht erkennbaren Wahrheit ist bekannt, daß r = , , , ,
a -j- h -p c
2 A
2 A
2 A
—- a b -j- c ' ' a — b P- c ' ^ a -j- b — c '
nun werden die mannigfachsten Kombinationen dieser Gleichungen
vorgenommen, sowohl additiv als multiplikativ. Deren Ergebnisse
bilden der Hauptsache nach den Inhalt des ersten Abschnittes.
II. Am Schlüsse des ersten Abschnittes wird auf die im
§ 1 besprochene Beziehung zwischen den Dreiecken ABC und
S'S"S"' zurückgegriffen und damit der Übergang zum zweiten
Abschnitt gewonnen, d. h. zu den drei Höhen eines Dreiecks
und deren Schnittpunkt. Jetzt heißt allerdings das ,,Elementar-
dreieck", um mit Feuerbach zu reden, nicht S'S"S"', sondern
ABC, die Höhen heißen AM, BN, CP, der Höhenschnittpunkt wird
mit 0 bezeichnet, und MNP entspricht dem Dreieck ABC des
ersten Abschnittes. Das Dreieck MNP empfiehlt sich schon
durch eine, wie in einer Fußnote auf S. 15 hervorgehoben wird,
seit 1775 bekannte Eigenschaft der Beachtung, es besitzt näm-
lich unter allen dem Dreieck ABC einbeschriebenen Dreiecken