Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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L.Koenigsberger:

dritter Ordnung (39) ein Zwischenintegral der LAGRANGE'schen partiellen
Differentialgleichung vierter Ordnung (38) darstellt.
So werden für das kinetische Potential
H = pP2 + P'2p
sämtliche integrale der LAGRANGE'schen Gleichung
2 p p"' y 4 p' p" — pa — ^ p P' = 0
die Energiegleichung
E = — p P' + 3 P' P" = GJ (xi — x.)
befriedigen.
Hat die partieHe Differentialgleichung vierter Ordnung die Form
(40) P"' = f(p, P, P', P"),
ohne daß sie ein kinetisches Potential zweiter Ordnung zu besitzen
braucht, so wird man ihr Zwischenintegral dritter Ordnung von
der Form
(41) tp(t4 P, P', P") = ^(x,-xJ

dadurch bestimmen können, daß man für cp ein Integral der partiellen
Differentialgleichung
^^ ^ p-
wählt — man sieht in dem obigen Beispiel, daß
cp = — pP2 + 2P2P"

^P m ^P^m P'
5p ^5P^ ' 5P'

dieser Gleichung Genüge leistet.
Soll das Zwischenintegral linear in P" sein, also die Form haben
(43) <p = f (P, P, P') P" + F (p, P, P') = m (x, - xj,
so würde die Differentialgleichung für cp lauten



^ p, , 3F
5 P "^5P

P'

f.f (p, P, P', P") = 0


5F*\
5 py

P"

und somit f vom zweiten Grade in P" sein, und die Differential-
gleichung vierter Ordnung, von welcher (43) ein Zwischenintegral
ist, die Form annelnnen

fP'

! p"2 I
^5P' ^

^ P-h ^P'
öp ' 5P*

5F
5 P'

5F 5F
^öp 5P

P' -= 0.

Man schließt daraus leicht, daß dann und nur dann, wenn