Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Zur Integration der Differentialgleichungen.

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M
d

P

jlH
6Q
bH
b O''

q

bH
bP
bH
b P'

(
)-7&(

pAH—Q
bQ' ^
bH


bH
b P'
— q

)
bH N
bP'^

dxi
gesetzt wird.
Nehmen Avir nunmehr an, dah das kinetische Potential die
Form hat
(ß) H(p3 + q'A P" + Q=, P'^ + Q'^, pP + qQ, pP' + qQ', PP' + QQ'),
so wird die Gleichung*

bH
Pxii--q

bH

bH

b q ^ b p b Q
identisch befriedigt, und es
p Lg — q Li

Q

bH

P'

bH

Q'

bH

bP ' ^ bQ' ^ bP'
^eht daher aus der Beziehung
dM , dl

= 0

d Xi

d Xq

hervor, dah alle Integrale der beiden LAGRANGE'schen Gleichungen
Li = 0 und Lg = 0 der Differentialgleichung dritter Ordnung

(46)

P

rG

bH
6Q

q

b n
bP


bH

6Q'

^bP'y

bH
bHh
) d
/ bH
bH N
bQ'
^ b P' ^
^ dxg
V & Q'
q ^ J

OJp (Xi — Xg)

d
dx
Genüge leisten, Avorin eine Avillkürliche Funktion bedeutet, die
Gleichung (46) also ebenfalls ein ZAvischenintegral der LAGRANGE'schen
Gleichungen ist.
Für die durch (ß) angegebene Form des kinetischen Potentials
zweiter Ordnung werden daher die Gleichungen (45) und (46) für
die beiden LAGRANGE'schen partiellen Differentialgleichungen vierter
Ordnung zwei Zwischenintegrale dritter Ordnung mit zwei willkür-
lichen Funktionen liefern, aus denen sich, wenn
^ b'H y b' H b' H
^bP'bQ'J bP'- ' bu"
nicht identisch Null ist, P" und Q" als Funktionen von p, q, P, Q,
P', Q', uj und uji ergeben, und diese Differentialgleichungen werden
wieder nach den früheren Ausführungen integriert werden können.
Es ist leicht ersichtlich, dah alle diese Sätze auf kinetische
Potentiale beliebiger Ordnung von mehreren abhängigen und unab-
hängigen Variabein ausgedehnt werden können.


Sitzungsberichte der Heidelb. Akademie, math.-naturw. Kl. 1911. 38. Abh.

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