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https://doi.org/10.11588/diglit.37321#0007
Dynamische AquivalenzproMeme.
(A. 17)7
fachsten auf folgende Art. Man fälle von C auf den Durchmesser
Aj Ag oder dessen Verlängerung das Lot GL = c und ziehe LP und
MP. Dann ist bei Einführung des Hilfswinkels PLM = ru:
(11) ds = aduu.
Ferner ergibt sich, wenn noch ML = b gesetzt wird, aus den Drei-
ecken PLM und PCL die Gleichung
(12) H = a^ -j- IP — 2 ah cos uu -j- c^,
und es ist daher
(13) rdr —absincuduu,
so daß
GA /ds\s_ r'
.dr/ h^ sin^ uc
wird. Nun ist aber
(15) r^ = (b — a)^ c^, r^ == (b a)^ -j- c^,
mithin nach (12):
(16) m r^ = 2ab (1 — cos in), r^ — r^ = 2ab (1 cos ui)
und daher endlich
/dsW 4aR^
' W "(A-r;) (rj}-^-
Aus den Gleichungen (10) und (17) erhält man für die ebene
äquivalente Kurve K die Gleichung:
. /dh\ ' ^ 4aM2 —(r-s —r^) (r^ — r')
^ ^ \dr/ P(P-r^)(r^—r') '
Es kommt jetzt darauf an, aus ihr Schlüsse in betreff der Ge-
stalt zu ziehen, die der Kurve K je nach den Werten der Größen
a, ri und rg eignet. Wie sich heraussteilen wird, ist es leicht, die
Veränderungen zu übersehen, die die Kurve K erfährt, wenn bei
festem a die Größen iq und iq abgeändert werden. Man wird daher
gut tun, zunächst r^ und rg als fest, a als veränderlich anzusehen
und die so entstehende Kurvenschar mit dem Parameter a zu un-
tersuchen. Dabei ist zu beachten, daß 2 a als Seite des Dreiecks
Ai G Ag zwischen den Grenzen rg -j- iq und iq — iq hegen muß. Für
die Grenzwerte a^ = ^ (iq — iq) und ag = ^ (iq -j- iq) rückt der Kreis
in eine durch das Zentrum G gehende Ebene, und die Kurve K
geht in den Kreis selbst über. Die beiden auf diese Art entstehenden
Kreise K^ und Kg mögen als Grenzkurven der Schar bezeichnet
werden; sie spielen im folgenden eine wichtige Rolle.
(A. 17)7
fachsten auf folgende Art. Man fälle von C auf den Durchmesser
Aj Ag oder dessen Verlängerung das Lot GL = c und ziehe LP und
MP. Dann ist bei Einführung des Hilfswinkels PLM = ru:
(11) ds = aduu.
Ferner ergibt sich, wenn noch ML = b gesetzt wird, aus den Drei-
ecken PLM und PCL die Gleichung
(12) H = a^ -j- IP — 2 ah cos uu -j- c^,
und es ist daher
(13) rdr —absincuduu,
so daß
GA /ds\s_ r'
.dr/ h^ sin^ uc
wird. Nun ist aber
(15) r^ = (b — a)^ c^, r^ == (b a)^ -j- c^,
mithin nach (12):
(16) m r^ = 2ab (1 — cos in), r^ — r^ = 2ab (1 cos ui)
und daher endlich
/dsW 4aR^
' W "(A-r;) (rj}-^-
Aus den Gleichungen (10) und (17) erhält man für die ebene
äquivalente Kurve K die Gleichung:
. /dh\ ' ^ 4aM2 —(r-s —r^) (r^ — r')
^ ^ \dr/ P(P-r^)(r^—r') '
Es kommt jetzt darauf an, aus ihr Schlüsse in betreff der Ge-
stalt zu ziehen, die der Kurve K je nach den Werten der Größen
a, ri und rg eignet. Wie sich heraussteilen wird, ist es leicht, die
Veränderungen zu übersehen, die die Kurve K erfährt, wenn bei
festem a die Größen iq und iq abgeändert werden. Man wird daher
gut tun, zunächst r^ und rg als fest, a als veränderlich anzusehen
und die so entstehende Kurvenschar mit dem Parameter a zu un-
tersuchen. Dabei ist zu beachten, daß 2 a als Seite des Dreiecks
Ai G Ag zwischen den Grenzen rg -j- iq und iq — iq hegen muß. Für
die Grenzwerte a^ = ^ (iq — iq) und ag = ^ (iq -j- iq) rückt der Kreis
in eine durch das Zentrum G gehende Ebene, und die Kurve K
geht in den Kreis selbst über. Die beiden auf diese Art entstehenden
Kreise K^ und Kg mögen als Grenzkurven der Schar bezeichnet
werden; sie spielen im folgenden eine wichtige Rolle.