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https://doi.org/10.11588/diglit.37321#0013
Dynamische Aquivaienzprobleme.
(A. 17)13
Werte, die r auf dem Umfang annimmt, so wird der Fahr-
strahi r dieselbe Funktion der Zeit t, wie wenn sich ein
materieller Punkt unter denselben Anfangsbedingungen
auf einer Kurve K bewegt, die in einer durch das Zentrum
gehenden Ebene liegt und in Polarkoordinaten r, b mit
dem Zentrum als Pol durch die Gleichung
erklärt wird. Bei festen Werten von und r^ und ver-
änderlichem Halbmesser a bilden die Kurven K eine
Schar von folgenden Eigenschaften: Die Kurven liegen
in dem Ringe, der von den um das Zentrum mit den Halb-
messern und rg beschriebenen Kreisen begrenzt wird, und
berühren abwechselnd diese Kreise. Kurvenbogen zwischen
je zwei aufeinander folgenden Berührungspunkten mit
demselben Kreise sind kongruent und werden durch den
dazwischen liegenden Berührungspunkt mit dem anderen
Kreise in symmetrische Hälften geteilt. Wenn a von dem
größten zulässigen Werte -^-(rg-j-rj abnimmt, erhält man
zunächst Kurven ohne Wendepunkte. Mit dem Werte
a = ^r^ — r^ bekommt die Kurve in jedem der kongru-
e nten Stücke je zwei symmetrisch gelegene Wendepunkte,
und so bleibt es, wenn a sich asymptotisch dem kleinsten
zulässigen Werte ^(Pg —rj nähert; die Kurve nähert sich
dabei asymptotisch einer aus Kreisbogen zusammen-
gesetzten Kurve mit denselben Eigenschaften. Für den
kleinsten Wert von a selbst tritt jedoch eine Unstetigkeit
ein; die Kurve K geht in den Kreis vom Halbmesser ^(rg—rj
über, dem jene Kreisbogen entnommen waren.
Die Kurven K gehören einer Klasse von Kurven an, die wohl]
eine planmäßige Untersuchung verdienten, weil sie nicht nur schöne
geometrische Eigenschaften besitzen, sondern auch in der Mechanik
vielfach auftreten, der Kurvenklasse nämlich, für die in Polar-
koordinaten r, b eine Differentialgleichung
(4')
besteht, wo F eine eindeutige Funktion von r bezeichnet. Hierzu
gehören zum Beispiel die Projektionen der Bahnen eines der Schwere
unterworfenen Punktes, der sich auf einer Kugelfläche bewegt, auf
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Werte, die r auf dem Umfang annimmt, so wird der Fahr-
strahi r dieselbe Funktion der Zeit t, wie wenn sich ein
materieller Punkt unter denselben Anfangsbedingungen
auf einer Kurve K bewegt, die in einer durch das Zentrum
gehenden Ebene liegt und in Polarkoordinaten r, b mit
dem Zentrum als Pol durch die Gleichung
erklärt wird. Bei festen Werten von und r^ und ver-
änderlichem Halbmesser a bilden die Kurven K eine
Schar von folgenden Eigenschaften: Die Kurven liegen
in dem Ringe, der von den um das Zentrum mit den Halb-
messern und rg beschriebenen Kreisen begrenzt wird, und
berühren abwechselnd diese Kreise. Kurvenbogen zwischen
je zwei aufeinander folgenden Berührungspunkten mit
demselben Kreise sind kongruent und werden durch den
dazwischen liegenden Berührungspunkt mit dem anderen
Kreise in symmetrische Hälften geteilt. Wenn a von dem
größten zulässigen Werte -^-(rg-j-rj abnimmt, erhält man
zunächst Kurven ohne Wendepunkte. Mit dem Werte
a = ^r^ — r^ bekommt die Kurve in jedem der kongru-
e nten Stücke je zwei symmetrisch gelegene Wendepunkte,
und so bleibt es, wenn a sich asymptotisch dem kleinsten
zulässigen Werte ^(Pg —rj nähert; die Kurve nähert sich
dabei asymptotisch einer aus Kreisbogen zusammen-
gesetzten Kurve mit denselben Eigenschaften. Für den
kleinsten Wert von a selbst tritt jedoch eine Unstetigkeit
ein; die Kurve K geht in den Kreis vom Halbmesser ^(rg—rj
über, dem jene Kreisbogen entnommen waren.
Die Kurven K gehören einer Klasse von Kurven an, die wohl]
eine planmäßige Untersuchung verdienten, weil sie nicht nur schöne
geometrische Eigenschaften besitzen, sondern auch in der Mechanik
vielfach auftreten, der Kurvenklasse nämlich, für die in Polar-
koordinaten r, b eine Differentialgleichung
(4')
besteht, wo F eine eindeutige Funktion von r bezeichnet. Hierzu
gehören zum Beispiel die Projektionen der Bahnen eines der Schwere
unterworfenen Punktes, der sich auf einer Kugelfläche bewegt, auf