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https://doi.org/10.11588/diglit.37375#0013
- Das Raumfünfeck und die dadurch bestimmten Poiarfetder. (A. 16) 1
(1) U^(x) = 0 (i = l,2, ....5)
der fünf Seiten von P die Identität
(2) Ui(x) + Üg(x) + Ug(x) + U^(x) + Ug(x) EEE 0
Führt man nun durch die Gleichungen
(3) pxf=Ü^x) (i = l,2, ....5)
die nach (2) durch die Identität
(4) x'i + x'g + x'g + x'^ + x'a EEV 0
verbundenen Variablen xf ein, so kann man vier behebige von
diesen als neue Punkt-Koordinaten betrachten in einem System,
dessen Koordinatentetraeder aus vier Seiten von P besteht und das
die fünfte Seite von P als Einheitsebene besitzt.
Ist etwa e die Einheitsebene, so liegt der Einheitspunkt des
Systems — ais harmonischer Pol von e in bezug auf das Koordinaten-
tetraeder — in dem ioiraedriseAen Gebiet (c] von P. Demnach haben
die neuen Koordinaten y\, y'g, y'g, yV eines beliebigen in {ej
(/eichenen Punktes P alle vier dassoiAo Vorzeichen. Es müssen
somit, wenn yi,..y^ seine Koordinaten im ursprünglichen System
sind, in diesem Fall U](y)...U^(y) das gleiche, also nach (2)
das entgegengesetzte Vorzeichen wie Ug (y) besitzen, und das
Entsprechende gilt für die vier anderen ieiracdrisci^en Gebiete
von P. Liegt dagegen der Punkt y in einem jpeniaodri.sc72gn Gebiet
von P, z. B. in (&e}, so ergibt sich, daß U^(y) und Ug(y) ungleich
Ui(y), Ug(y), Ug(y) signiert sein müssen. D. h.
XIV. IFonu die iiaima Veden der ein Paum/i'iu/i?ed P Ao-
.S'^ineneeeede/e Gdeiedeneeye^e die ddeeeidr'd (2) or/i'iiien, .eo iicji ein P
nic7d eme/e7n'irir/er 7Au?7i y in einem 7e7reeedrisc72en oder peniaedri^cimu
GeAiei von P, je uac7u7em in e7er PeiAe
Ui(y), Ü,(y), Üg(y), ÜJy), Üg(y)
eine-s oder ^n'ei Giieder den üArä/en nn^7eic72 e;ijnie)d sind, und ^war
iieji y in dem von der PAene U^. (x) = 0 nic7d Ae^/ren^ien ieira-
edri.S'cAeu, Am;, in eiern von den PAenen I j. (x) = 0 und (x) = 0
d^ eiseiiia/Ae2/reuPen jieniaedriscAen GeAiei von P, ^renuU^.(y), A^ee.
U^(y) und U^y) den üAri^en U. (y) uuyieieA .signier7 .sine7.
Entsprechend lautet das zu diesem dualistische Kriterium, das
über die Lage einer Ebene u in bezug auf ein Raumfünfeck 9t ent-
scheidet. Wir sprechen es nicht aus, benützen es aber für den
Fall, dah *rr mit der uneigentlichen Ebene des Raumes zusammen-
(1) U^(x) = 0 (i = l,2, ....5)
der fünf Seiten von P die Identität
(2) Ui(x) + Üg(x) + Ug(x) + U^(x) + Ug(x) EEE 0
Führt man nun durch die Gleichungen
(3) pxf=Ü^x) (i = l,2, ....5)
die nach (2) durch die Identität
(4) x'i + x'g + x'g + x'^ + x'a EEV 0
verbundenen Variablen xf ein, so kann man vier behebige von
diesen als neue Punkt-Koordinaten betrachten in einem System,
dessen Koordinatentetraeder aus vier Seiten von P besteht und das
die fünfte Seite von P als Einheitsebene besitzt.
Ist etwa e die Einheitsebene, so liegt der Einheitspunkt des
Systems — ais harmonischer Pol von e in bezug auf das Koordinaten-
tetraeder — in dem ioiraedriseAen Gebiet (c] von P. Demnach haben
die neuen Koordinaten y\, y'g, y'g, yV eines beliebigen in {ej
(/eichenen Punktes P alle vier dassoiAo Vorzeichen. Es müssen
somit, wenn yi,..y^ seine Koordinaten im ursprünglichen System
sind, in diesem Fall U](y)...U^(y) das gleiche, also nach (2)
das entgegengesetzte Vorzeichen wie Ug (y) besitzen, und das
Entsprechende gilt für die vier anderen ieiracdrisci^en Gebiete
von P. Liegt dagegen der Punkt y in einem jpeniaodri.sc72gn Gebiet
von P, z. B. in (&e}, so ergibt sich, daß U^(y) und Ug(y) ungleich
Ui(y), Ug(y), Ug(y) signiert sein müssen. D. h.
XIV. IFonu die iiaima Veden der ein Paum/i'iu/i?ed P Ao-
.S'^ineneeeede/e Gdeiedeneeye^e die ddeeeidr'd (2) or/i'iiien, .eo iicji ein P
nic7d eme/e7n'irir/er 7Au?7i y in einem 7e7reeedrisc72en oder peniaedri^cimu
GeAiei von P, je uac7u7em in e7er PeiAe
Ui(y), Ü,(y), Üg(y), ÜJy), Üg(y)
eine-s oder ^n'ei Giieder den üArä/en nn^7eic72 e;ijnie)d sind, und ^war
iieji y in dem von der PAene U^. (x) = 0 nic7d Ae^/ren^ien ieira-
edri.S'cAeu, Am;, in eiern von den PAenen I j. (x) = 0 und (x) = 0
d^ eiseiiia/Ae2/reuPen jieniaedriscAen GeAiei von P, ^renuU^.(y), A^ee.
U^(y) und U^y) den üAri^en U. (y) uuyieieA .signier7 .sine7.
Entsprechend lautet das zu diesem dualistische Kriterium, das
über die Lage einer Ebene u in bezug auf ein Raumfünfeck 9t ent-
scheidet. Wir sprechen es nicht aus, benützen es aber für den
Fall, dah *rr mit der uneigentlichen Ebene des Raumes zusammen-