Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

8 (A. 24)

A. Krazer:

5.
Das Abelsche Theorem.

Bezeichnet man che q ccP-Punkte einer Funktion T der Klasse

wie bisher mit
sind diese 2q Punkte durch die p Gleichungen

'1' 2' " ' q

, ihre q (^-Punkte mit */]^,7]^, ..,7]^, so

eis; "AD]

g 7r -!- E h, a
' v=l

(g^l,2,..,p)

miteinander verknüpft, wo die g, h ganze Zahlen bezeichnen,
welche durch geschlossene Integrale des Differentials dlni* sich
ausclrücken lassen. Sind umgekehrt 2q Punkte s und 7] durch
p Gleichungen (13) miteinander verknüpft, so existiert eine Funk-
tion der Klasse, welche in den q Punkten s cP und in den
q Punkten 7] (P wird; sie kann mit Hilfe der Integrale III. Gattung
in bekannter Weise dargestellt werden.
Nnn fasse man die Gleichungen (13) so auf, daß in ihnen
die q Punkte gegeben und die q Punkte
gesucht seien. Die Lösung dieser Aufgabe fällt verschieden aus
je nach der Natur der q Punkte s. Finden sich unter diesen
r fremde, r—r' = r" wesentliche und s=q — r notwendige, so
fallen von den q Punkten 7] r' mit den r' fremden Punkten s
zusammen, von den q' = q— r' übrigen Punkten 7] können s
willkürlich gewählt werden, die anderen r" sind dann durch diese
und die Punkte s im allgemeinen eindeutig bestimmt.

6.
Der Weierstraß'sche Lückensatz.
Es sei eine Funktion T der Klasse gegeben, welche nur in
einem Punkte s(z',s') der RiEMANxschen Fläche oA werde wie

c

c


z — z (z — z ) (z—z ,
Bezeichnet man dann das in s mit dem Gewichte -j
werdende Normalintegral II. Gattung mit t (s), für welches

1 ad

längs a^: t+(s) = W(s),
(14) längs b^: t+(s)==W(s)-
längs c . t+(s)=Hr(s),

,(m)

(m —1)1 v

(s), (v=H,2,..,p)