Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Die diophantische Gteichung U + '^ + ^-O. (A. 35) 5
Die Untersuchungen beanspruchen noch von einer andern Seite
her Interesse. Bekanntlich beruht der KuMMEFt'sche Beweis von der
Unmöglichkeit der FERMAT'schen Bleichung in dem Körper % der
^ten Einheitswurzeln (7 eine ungerade Primzahl) auf der Annahme,
daß die Klassenzahl dieses Körpers zu % prim sei. Es ist oft vermutet
worden, daß diese Annahme mit dem Wesen des Problems nichts
zu tun habe und eine rein methodisch bedingte sei. Durch die
obigen Beispiele ist diese Ansicht entkräftigt. Im Gegenteil scheint
es wahrscheinlich, daß die FERMAT'sche Gleichung im Körper der
^tcn Einheitswurzeln lösbar ist, falls die Klassenzahl dieses Körpers
durch eine gewisse Potenz von % teilbar ist.
Diese Ansicht wird durch den 3. Teil der Untersuchung ge-
stützt. In demselben betrachte ich Körper H;, in denen die
Gleichung ^ -Q 7^ -ß ^ — Q lösbar ist, und folgere, daß die
Klassenzahl der Körper durch 3 teilbar ist. Diese Körper sind
die kubischen Körper 7;(yn), wo a durch die kubische Form
u — wU -p 27
darstellbar ist (na und ?a zu 3 prim). Alle diese Körper haben
eine durch 3 teilbare Klassenzahl.

I.
Satz: Ist an eine negative ganze rationale quadrat-
freie Zahl der Form 3n-)--2 (na = 2 (3)), so ist die diophan-
tische Gleichung
$3 -L yj3_E ^0
nur dann in 3 von 0 verschiedenen Zahlen %, ß, y von
%C\/na) lösbar, wenn die Klassenzahl von & durch drei
teilbar ist.
1. Der Körper %(\/na) = % enthält nur die Einheiten + 1, außer
im Falle na=-l, wo + V-l hinzukommt. (3) zerfällt in %
wegen na = 2 (3) nicht.
Wir nehmen an, die Klassenzahl von % sei zu 3 prim. Ad-
jungiert man die 3. Einheitswurzel ^ ^ ^ zu %, so entsteht
der biquadratische Körper U. In diesem wird (3) das Quadrat
eines Ideals t = (C - 1):

(3) = U.