Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Die diophantische Gleichung ^ + Y]^ + ^^0.

(A. 25) 9

also durch Addition:

M +


M -j-

t' = ^

ß Y + ß
Y Y

jL R+ ß
ß ß

t-0(.3)

d. h., daY"}*ßzii3primist:
ß .. , Y

Y'

f
Y^

02^0(3);
u

Ebenso folgt wegen ß = -j-y):

^ + Y
Y

-1 (3).

Daraus:

ß3_
lyV + ^ ^ ^ ^ + 1 ={= o (9) ,
was unmöglich ist. Also ist die Annahme, der Relativgrad von Af
sei <^33, zu verwerfen. AT hat den Relativgrad 3^ in bezug
auf L

+ 1

1) ^+1 (9);

5. In jedem relativ-zyklischen Körper vom Relativgrad 3,
dessen Relativdiskriminante 3 enthält, wird (3) die 3. Potenz eines
Ideals. Aus allgemeinen von mir bewiesenen Sätzen folgt, daß
(3) in AT nicht die 27., sondern höchstens die 9. Potenz eines Ideals
werden kann. Die Verzweigungsgruppe*) der in (3) enthaltenen Prim-
ideale ist deshalb höchstens vom 9. Grade. Der Verzweigungskörper
ist in unserem Falle gleich dem Trägheitskörper, der eine zu 3
prime Relativdiskriminante besitzt. Da der Relativgrad von Af
gleich 27 ist, mühte der Trägheitskörper immer noch den Relativ-
grad 3 zu besitzen. Seine Relativdiskriminante wäre eins, was
unmöglich ist, falls die Klassenzahl von 7; zu 3 prim ist.^) Damit

9 Bd. 75, (1914). ÄBEL'sche Gleichungen in quadr.-imag.
Körpern.
9 Siehe hierzu WEBER, Bd. II. Braunschweig 1899, 2. Auflage,
pag. 643 u. ff., insbesondere pag. 661—668. — 9 HiLBERT, a. a. 0.