Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Die diophantische Gleichung U + vf + ^ = 0.

(A. 25) 11

letzteren Fall und bilden den zu Rg, ,... gehörigen Unterkörper
Ff* von Ff, dessen Relativgruppe in bezug auf % durch
,S',=" (o g ^ < 3)

gegeben ist. Sein Relativgrad ist 9; seine Relativdiskriminante
enthält nur 3.
b) Würde (3) in Ff* nur die 3. Potenz eines Ideals, so würde
derselbe wieder einen Unterkörper enthalten, der relativ-zyklisch
vom Relativgrad 3 zu F wäre, und dessen Relativdiskriminante eins
wäre; dies ist aber ausgeschlossen. Also wird (3) = 8^ in Ff*.
F^ sei irgendein in Ff* enthaltener, zu % relativ-kubischer Körper,
dessen Relativgruppe durch R' (0 <f % <f 3) gegeben sei. In FR
wird (3) = 81R wo Si = 8R A^ sei eine durch 81 teilbare Zahl von

FR, doch soll zu 81 prim sein. Unter Renutzung der
Pi
symbolischen Potenz^) ist dann (S 1):

Wäre nämlich AR -^=1 (8R), so mühte sein:
Ai - R Ai ^ 0 (8R), Ai - R2 Ai = 0 (8R),
3(Ai) = (Ai-RAi)(Ai-RW\i)^0(8/).

Ai genüge der Relativgleichung in bezug auf %:
A]" - ki Ai" -j- kg Ai - kg = 0.
Dann ist
3(Ai) = 3A^-2kiAi + kg^O(Si').

Da jeder Summand links durch eine andere Potenz von 81
teilbar ist, muh jeder wenigstens durch 8R teilbar sein. Somit
3ApW0(8R),
was unmöglich wegen (3) = 81^.
c) A sei eine durch 8 teilbare Zahl von Ff*, ^ zu 8 prim.
Dann ist:
W-s = I (8) ^ 1 (8')
für jede Substitution R^RRiRR^R: 1 der Relativ gruppe.
Wäre nämlich z. R.
At-si ^ i (Q2). d. h. A'-^ = 1 + AR AW 0 (8'),
so wäre

9 HiLBERT, a. a. 0., pag. 271.