Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Die diophantisehe Gleichung y + *<F + <!2 = 0.

(A.25)19

in drei von null verschiedenen Zahlen a, [3, lösbar ist,
für die ß conjugiert zu a ist, so ist sie es auch in
/j(V-3^n) und umgekehrt.
Denn ist wieder
\ ^ \ ö / 1p " ^ '

so darf man voraussetzen, daß ^ keinen gemeinsamen Teiler
haben; % und y dürfen nur den Teiler 2 gemein haben. Man setze

/ % + ?/ T?M ^
i
+
W
n
!
)
2 ' \ 2 ^
2

dann folgt durch Addition wegen obigem
X=^3,
und durch Subtraktion und Multiplikation:
^ (3 + W X^ - 9 - /n ^
3-4 ' 4 "
Also ist:

/ X + X t-3n? i
f X - y V- 3 -yn \
,3 x(x'-9wy)
2 ^
^ 2 ^
4


Z3.

X, Y, X sind dabei sicher von null verschieden, w. z. b. w.
Als Anwendung der früheren Resultate ergibt sich daraus
ohne weiteres der

Satz: Die diophantisehe Gleichung
$3! + ^-}- ^3 = 0
ist nur dann in dem reellen quadratischen Körper ^(V3w)
(^y>0 quadratfrei und von der Form 3n+ 1) speziell lös-
bar, wenn die Klassenzahl von durch 3 teilbar ist.
Überhaupt sieht man, daß die spezielle Lösung in reellen
quadratischen Körpern gefunden ist, wenn die Frage für die ima-
ginären gelöst ist. Die Gleichung ist also nicht speziell lösbar
z. B. für % (V3), ^(V2l), u. s. f.
5. Satz: Wenn die diophantisehe Gleichung
^3 _p yj3 _p ^3 = Q
in speziell lösbar ist, so gibt es unendlich viele
Lösungen, für die 7], C keinen gemeinsamen Teiler haben.
Denn aus

2*