Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

22 (A. 7)

K. Bopp:

drei Kosinus gleich sind, so sind es auch die Winkel, also CF und RH
parallel, also die Winkel bei K und H gleich und das Polygon
ein reguläres. Da dieselbe Überlegung ja für sämtliche Seitenwinkel
gilt, der Inhalt aber mit der Vergrößerung der Seitenzahl wächst,
und diese unbegrenzt ist, so wird das reguläre Polygon schließlich
in den Kreis übergehen, womit unser Theorem bewiesen ist.
Um unsere Methode auf die
Differenzen von Sinus, Kosinus und
somit auf diejenigen Kurven an-
wenden zu können, deren Glei-
chung von irgendwelchen Winkel-
beziehungen abhängt, muß man
voraussetzen, daß für sehr kleine
Winkel der Sinus sich nicht vom
Bogen, der Kosinus sich nicht
merklich vom Einheitsradius unter-
scheidet. Wenn man so die Spirale
auf Polarkoordinaten (y, x) bezieht,
so wird der allgemeine Ausdruck der Polarsubtangente


y 5

y j cos dx
y

y

y-y dx
v — 1

denn man hat in ähnlichen Dreiecken

cos d x_y y ^ yycosdx— y yy 1t c_ y2ysindx
“ — — 0 oder ; n := — ciiso o —
y tg cl x b y sin dx b

und für y

geschrieben cp1:

i, s = Wdx
y y—y
d cp

fdx
dy

yy cos dx — y
in den modernen Lehrbüchern

d uu

Nimmt man die Gleichung der Archi-
yy dx

med’schen Spirale in der Form an ax = b y, so wird S

by:

v — 1
= xy y oder für j — i. S = x y. Diese Beziehung drückt den
a
Satz aus an der Archimed’schen Spirale, daß die Länge der
Polarsubtangente gleich ist dem Bogen bis zur Polaraxe
des mit dem Radius cp = y durch den Kurvenpunkt (y, x)
beschriebenen Kreises (Mittelpunkt 0, Radius y).
Der Verfasser schließt den ersten der Differentialrechnung ge-
widmeten Teil seines Werkchens mit den Worten: ,,Les livres
elementaires supposent une courbe parallele ä une ligne droite,
ou une analogie entre des quantites innombrables, ce qui ne peut
jamais satisfaire les commencans.“