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https://doi.org/10.11588/diglit.37349#0025
Eine Schrift v. Ensheim „Recherches sur les ealculs differentiel et integral“. (A. 7) 25
Beziehung zwischen der Summe der Parallelogramme und x y und
die Kurve ist algebraisch quadrierbar; besteht aber eine solche Be-
ziehung nicht, so muh man zu Approximationsmethoden greifen.
Als Beispiel einer Quadratur dienen die Parabeln höherer Ord-
nung, welche eine interessante Geschichte besitzen.8) Durch Ver-
allgemeinerung der Gleichung der Apollonischen Parabel y2 = p x er-
hält man diejenige dieser Kurven ym + n = amxn oder bei Fermat
ym ==km,^nxn (vergl. Cantor Bd. IHj, pag. 869, also m' = m -j- n
und m = m' — n). Aus der Gleichung ym + n = amxn erhält Ens-
m + n
heim xn — 1 = ym + n — 1 oder x — 1 = y n — 1. Multipliziert
man den ersten Summanden mit y und subtrahiert beiderseits wieder 1,
ra + 2 n
so kommt xy— 1 = y n — 1. Außerdem ist:
m + 2 n m + n m + 2n ^ m + 2 n ^
(y^"-i):(y”^-i) = (y™_ + iir~ + --y + i):
8) Wichtig für diese Geschichte sind folgende Dokumente: 1. der Brief
Descartes’ vom 13. Juli 1638 berührt Sätze, welche den Schwerpunkt und die durch
Rotation erzeugten Volumina von diesen Kurven begrenzter Flächen betreifen
(Oeuvres de Descartes ed. Adam et Tannery II, Paris 1898, S. 246. 2. Ein
Schreiben Fermats an Cavalieri von 1 644 durch Vermittlung P. Mersennes (zuerst
veröffentlicht in den Oeuvres de Fermat ed. Tannery et Henry I, S. 195—198),
worin ein Ausdruck für die Fläche eines Parabelsegments sowie für das von ihr
durch Rotation um die Achse erzeugte Volumen, ebenso für die Schwerpunkte jener
Fläche und dieses Körpers angegeben werden. 3. Verbreitet wurden diese Resul-
tate durch Mersenne in der Praefatio ad mechanicam seiner Cogitata physico-
mathematica 1644. Fermats Bemühungen reichen aber bis 1636 zurück. In
einem Briefe an Roberval vom 22. Sept. 1636 (Oeuvres de Fermat II, S. 73) wird
auf die von ihm ausgeführte Quadratur hingewiesen. Er kommt darauf in
Briefen an Roberval vom 16. Dez. 1636 und an Mersenne vom 10. Aug. 1638
(Oeuvres de Fermat II, S. 95 und ibid., S. 165) und mit aller nur wünschenswerten
Ausführlichkeit in der berühmten Arbeit De aequationum localium transmutatione
et emendatione, die erst 1679 in den Opera varia erschienen ist (Fermat Oeuvres I,
S. 255—285 und III, S. 216 —237). Dem Datum der Publikation nach kommt für
die Priorität einiger dieser Resultate in Betracht: 1. Bonaventura Cavalieri in
der vierten seiner Exercitationes sex Bonon. 1647. 2. Stefano degli Angeli, der
Verfasser einer wichtigen Arbeit: De inflnitis Parabolis infinitisque solidis,
Venetiis 1654. 3. John Wallis, der sich in seiner Arithmetica infinitorum 1655
und in seinem Lehrbuch der Kegelschnitte eingehend mit den höheren Parabeln
beschäftigt hat. Im 18. Jahrhundert schrieb M. Knutzen, der bekannte Lehrer
Kants, über die „parabolae parametrales“ eine Abhandlung: Theoremata nova de-
parabolis infinitis eodem parametro et circa eandem axem descriptis (Acta erudi-
torum Lips. 1737). (Nach Loria „Spezielle ebene höhere Kurven“.)
Beziehung zwischen der Summe der Parallelogramme und x y und
die Kurve ist algebraisch quadrierbar; besteht aber eine solche Be-
ziehung nicht, so muh man zu Approximationsmethoden greifen.
Als Beispiel einer Quadratur dienen die Parabeln höherer Ord-
nung, welche eine interessante Geschichte besitzen.8) Durch Ver-
allgemeinerung der Gleichung der Apollonischen Parabel y2 = p x er-
hält man diejenige dieser Kurven ym + n = amxn oder bei Fermat
ym ==km,^nxn (vergl. Cantor Bd. IHj, pag. 869, also m' = m -j- n
und m = m' — n). Aus der Gleichung ym + n = amxn erhält Ens-
m + n
heim xn — 1 = ym + n — 1 oder x — 1 = y n — 1. Multipliziert
man den ersten Summanden mit y und subtrahiert beiderseits wieder 1,
ra + 2 n
so kommt xy— 1 = y n — 1. Außerdem ist:
m + 2 n m + n m + 2n ^ m + 2 n ^
(y^"-i):(y”^-i) = (y™_ + iir~ + --y + i):
8) Wichtig für diese Geschichte sind folgende Dokumente: 1. der Brief
Descartes’ vom 13. Juli 1638 berührt Sätze, welche den Schwerpunkt und die durch
Rotation erzeugten Volumina von diesen Kurven begrenzter Flächen betreifen
(Oeuvres de Descartes ed. Adam et Tannery II, Paris 1898, S. 246. 2. Ein
Schreiben Fermats an Cavalieri von 1 644 durch Vermittlung P. Mersennes (zuerst
veröffentlicht in den Oeuvres de Fermat ed. Tannery et Henry I, S. 195—198),
worin ein Ausdruck für die Fläche eines Parabelsegments sowie für das von ihr
durch Rotation um die Achse erzeugte Volumen, ebenso für die Schwerpunkte jener
Fläche und dieses Körpers angegeben werden. 3. Verbreitet wurden diese Resul-
tate durch Mersenne in der Praefatio ad mechanicam seiner Cogitata physico-
mathematica 1644. Fermats Bemühungen reichen aber bis 1636 zurück. In
einem Briefe an Roberval vom 22. Sept. 1636 (Oeuvres de Fermat II, S. 73) wird
auf die von ihm ausgeführte Quadratur hingewiesen. Er kommt darauf in
Briefen an Roberval vom 16. Dez. 1636 und an Mersenne vom 10. Aug. 1638
(Oeuvres de Fermat II, S. 95 und ibid., S. 165) und mit aller nur wünschenswerten
Ausführlichkeit in der berühmten Arbeit De aequationum localium transmutatione
et emendatione, die erst 1679 in den Opera varia erschienen ist (Fermat Oeuvres I,
S. 255—285 und III, S. 216 —237). Dem Datum der Publikation nach kommt für
die Priorität einiger dieser Resultate in Betracht: 1. Bonaventura Cavalieri in
der vierten seiner Exercitationes sex Bonon. 1647. 2. Stefano degli Angeli, der
Verfasser einer wichtigen Arbeit: De inflnitis Parabolis infinitisque solidis,
Venetiis 1654. 3. John Wallis, der sich in seiner Arithmetica infinitorum 1655
und in seinem Lehrbuch der Kegelschnitte eingehend mit den höheren Parabeln
beschäftigt hat. Im 18. Jahrhundert schrieb M. Knutzen, der bekannte Lehrer
Kants, über die „parabolae parametrales“ eine Abhandlung: Theoremata nova de-
parabolis infinitis eodem parametro et circa eandem axem descriptis (Acta erudi-
torum Lips. 1737). (Nach Loria „Spezielle ebene höhere Kurven“.)