Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Eine Schrift v. Ensheim „Recherches sur les calculs differentiel et integral“. (A. 7) 27

und für die Integration, nachdem ± = 1 gesetzt wurde:

S. y d x =-xy=--— x y.
m — n m — n

1 m

m — n

m

Auszunehmen ist der Fall, wo m = n = [1], derjenige
der gewöhnlichen Hyperbel. In der Tat, da x y = a2, so ist d(xy)
= o, also existiert keine Beziehung zwischen der reellen Größe y d x


Funktion, aus der die Variable verschwindet und deren Zuwächse
also eine arithmetische Reihe bilden, während die x in geometrischer
Progression stehen. Man kann also die krummlinig von der Hyperbel
begrenzten Flächenräume auffassen als die Logarithmen der bezüg-
lichen Abszissen und S. y d x = L. x.
Bei der logarithmischen Kurve hat man S. y d x = S. y (y — 1)
= y-f-C. Man kann dies Resultat auch durch elementare
Algebra beweisen. Denn setzt man y = mp und L y = p (m — 1)
= x [also Ly = pLm=p (m — 1) und somit Lm = m-1], so
wird y d x = mp (m—1). [Logarithm. Differentiation.] Die Or-
dinaten wachsen also in geometrischer Progression und sind dar-
gestellt durch 1, m, nr e. c. t., die krummlinig begrenzten Flächen
sind repräsentiert durch (m — 1), m (m — 1), m2 (m — 1) e. c. t.


= S. mp (m — 1) = S. y d x. Bedenkt man aber, daß m von der
Einheit nur sehr wenig verschieden ist (um die sehr kleine Größe n.
so ist mp + 1 = mp (1-f-n) nur sehr wenig unterschieden von mp,
also hat man auch S. y d x = mp — 1 = y — 1.

Beim Kreise hat man y d x = (y2 — x2R d x. Da dieser

Ausdruck sich nicht auf eine geschlossene Form zurückführen läßt,
die integrierbar ist, so entwickelt man das Radikal nach der Bino-

x2
mialformel in eine unendliche Reihe: y = y (1 — -- v — v o— lb:—1
J v 2y 8y 16 t

— e. c. t.) und gewinnt so näherungsweise


Zur Rektifikation der Kurven faßt man sie hier in
der Integralrechnung in gewohnter Weise als Grenze

ihres Sehnenzuges auf. Die Sehne ist (dx-j-dy)2 und durch