Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

28 (A. 7)

K. Bopp:

Integration dieses Ausdrucks erhält man bis auf eine Konstante die
Peripherie des Polygons, die zuletzt in die Kurvenlänge übergehen
wird.

Als Beispiel dient die Neil’sche Parabel: a x2

r

daraus a x2 (i2

1)

r p
T2

also x2

1

1 und i

will man, nachdem in ax2(i-f l)(x — 1) = y2 (y — 1) X y (y2 ~b y + 1)
^ x — 1
zerlegt, auf (d x)2 kommen, so ist die linke Seite mit - q- — zu multi-
plizieren oder nach Erweiterung mit x 1 mit
i2- i = (y-i)Jf + y + 1). als0 (dx)3 = (dy)s y(f ±i +il2

(K
1

(* + 1)
und (d x2 -f d y2)2 -
f.v (f + y + l)2

l)2
y (y2 + y
a (y t + l)2

l)2

L a (y 2
und (d x2

l)2
i
dy a)T

-|- i \— z2, so hat man d y -

a (y 2 + l)2
+ 1 p d y. Setzen wir

a (yy + l)2 z2 (z2 — 1)
(y2 + y + i)2

(yy+ l)2z3(z2 — 1)_ ()'2+ l)2(z + l) d (z3)

(y2 + y + D2

also das Integral: S. (dx2 + dy2)2 = a ^ 2

(y24 y + l)2(z2+z+l)'
l)2 (z + 1) z3

und wenn

(y2+y+ i)2(z2 -f z-f i)
man y = z= 1 setzt, so wird unter Restitution von z das Inte-
gral, das den Bogen der Neil’schen Parabel darstellt:
i , 3

S. (d x2 + d y2)

,2\ 2

8 a / 9 y

2 7 V 4 a
i
Beim Kreise hat man (d x2 -f- d y2)2 -

1
T d x

-y; da sich hier
(r-y2)2
keine konstante Beziehung aufstellen läßt, so entwickelt man die
W urzel im Nenner und findet so näherungsweise das Integral, das
den Kreisumfang darstellt.
Mit der Wendung „On peut d’ailleurs trouver la va-
leur approchee de la circonference du cercle d’une ma-
niere plus elegante“ geht unser Autor zu einer ganz andern
Methode über, die wir hier in etwas modifizierter Transskription
folgen lassen, da die Reihe des Dreiecks unseres Wissens sonst
nirgends abgeleitet ist. In den Einheitskreis sei das reguläre n-Eck
einbeschrieben, das aus soviel Dreiecken besteht, als der Gentri-
360°
n

winkel 2 m

angibt.