Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

38 (A.

K. Bopp:

Aber durch die Annahme der weiteren Giltigkeit unserer oben ge-
fundenen Formel:
d(y°) = y"_1 g + (t - D + ~(n ~ ~ <>' ~ V
n (n— 1) . . . (n — p) , . 1
+ ••• (p „jljj (y — l)p + e- c. t.j dy und ebenso ynyndy
= y"dy (I + (y — 1)}“ = y" dy jl + " (y — 1) + n ^ ~ (y - ])2
4- n (n - 1). ■ ■ (n - p +J) (. _ 1)p _ ]

1 • 2 . . . p
Multipliziert man die erstere Gleichung mit y und schreibt zur
Addition untereinander:
yd(y-)=rg+D-h^)(y-i)+d^i) (°-»} (y_lf

n (n — l)...(n —p)(y— l)p...|
_r‘" l-2...p + l I y

yn d y {1 + (y D}n = y11 {1 + ~ (y - D + (f

D2

+

n (n — 1).. . (n — p+l) (y — l)p |
1 ■ 2 . . . p

dy

d(yn + 1) = y

n(D+ 1

1

[M

1

n (n — 1) T n —J “|
1-2 [ 3 J

((y- i)2)+'

n(n — 1) (n — 2)... (n—p+1)

(y -
”n — p

1 • 2 • 3 ... p

P + l

1 (y-l)p... dy

(n + vn a , 1+t1) 11 -yü—i a2 | (n+l)n(n - 1) 2 3
J y 1-2 y 1-2-3 y

(n + l) n ... (n — p + l) +,
' 1-2. ..p+l J
Da der Satz für die zweite und dritte Potenz evident ist, so
gilt vermöge vollständiger Induktion Newtons Theorem also all-
gemein.
Kettenbruchentwicklung der Quadratwurzel. Es sei
verlangt, die Quadratwurzel von 1 + y, y<+l, zu bestimmen. Es
i i i /. _,. ,
war d (x2) = x2 (x2 — 1) = * X T— = ± - *-. Betrachtet
X2 (±2 + 1) X2 (±2 + 1)
man nun die Variable y als Differenz und setzt dann x=l, so
i
kommt, da y = x (± — l) = (i—l)x = ± oder x = 1 +y, d (1 +y)^ -