Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

40 (A. 7)

K. Bopp:

1. Die Summe der Wurzeln in derGleichung II. Grades ist dem
Koeffizienten der ersten Potenz der Unbekannten gleich genommen
mit entgegengesetztem Zeichen.
2. Die Wurzeln sind entweder beide reell oder beide imaginär,
sonst könnte ihre Summe nicht reell sein.
3. Wenn die Summe der beiden Wurzeln — p ist, so sind
P p
diese x+^ + m und x+~ — m, multipliziert man die beiden Fak-
toren miteinander und vergleicht mit der gegebenen Gleichungsform,
so ist (x+ | + mj (x+1 — m) = (x+|'j 2 — m2 oder m = — qj 2,

also sind die beiden gesuchten Faktoren x

x +

P
2




1
2 und

Eine Gleichung III. Grades habe die Form x3+px+q = 0.
Durch Differenzenbildung kommt: x3 (i3 — l) + px(i — 1) = 0 und
nach Division mit x (x— 1) hat man: x2(x24-x+l) =—p; löst
man letztere Gleichung zweiten Grades, so kommt: xx=—— +


also sind die beiden andern Wurzeln xx -

x + V—4 p — 3 x2

2

und die drei Werte der Unbekannten x,

x + (—- 4 p — 3 x2)2 — x — (— 4 p — 3 x2)

i
2\ 2

Daraus folgt:

1. Die Summe der drei Wurzeln ist Null = dem Koeffizienten
des fehlenden quadratischen Gliedes.
2. Die Summe der Kombinationen der Wurzeln zu je zweien
ist p, Koeffizient des dritten Terms der gegebenen Gleichungsform.
3. Das Produkt der drei Wurzeln ist — q, der Koeffizient des
vierten Terms mit entgegengesetztem Zeichen in dieser Gleichungs-
form.
4. Die Gleichung III. Grades hat immer eine reelle Wurzel,
die beiden andern werden reell sein, wenn — 4 p — 3 x2 positiv ist
(wenn x die reelle Wurzel bezeichnet); dazu ist erforderlich, daß p
3
negativ ist und . Wenn also p positiv ist, so wird die
Gleichung zwei imaginäre Wurzeln aufweisen.