Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

4 (A. 14)

Oskar Perron:

Hilfssatz 1. Ist im Intervall uVa?^^ durchweg
Dw(a:)^ü, so ist für irgend zwei ungleiche Werte ^
dieses Intervalles

w(^)-


< C

"2
Nehmen wir an, es gäbe im Gegenteil zwei Werte aig, für
welche
w(^) —

^ — 2L


ist, wo > 0, so sei etwa a^ < a?2- Dann ist die Funktion
w (a) — w (a^)

a — a^
für a > a^ stetig und, wenn a genügend nahe bei a^ liegt, gewiß
kleiner als C+ ??. Daher wird im Intervall (a^, ag) sich ein kleinster
Wert a=ag finden, für den dieser Bruch gleich C+?7 ist; also



D + ?y ,

iB(a)-w(aJ ^
-<W-hh für a^<a<ag .
Hieraus folgt durch Multiplikation mit den (positiven) Nen-
nern und nachherige Subtraktion:

w (W) — w (a)

> G + ?? -

Da dies gilt, wie nahe auch a an a% liegt, so ist gewiß

D tv (a^g) ^ F ,
im Widerspruch mit unserer Voraussetzung.
Ebenso einfach beweist man den
Hilfssatz 2. Ist im Intervall aVa^& durchweg
Dw(a)jAc, so ist für irgend zwei ungleiche Werte a^, a^
dieses Intervalles

w(aig) -

Übrigens sind diese Hilfssätze in einem etwas allgemeineren
Satz von LEBESGUE enthalten (Le$ons sur Fintegration et la
recherche des fonctions primitives, Seite 70). Wir haben hier