Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über den Integralbegriff. (A. 14) 5
einen Beweis beigefügt, nur um unsere Theorie auf ein Minimum
von Vorkenntnissen aufzubauen.

Definition des bestimmten Integrals.

Sei/(3) eineim Intervall u/g3V&definierte und beschränkte
reelle Funktion; also etwa
7% < /(%) < Th .
Jede stetige Funktion <p(3), für welche
<p (a) = 0
D </? (3) < / (3) (a < 3 < &)
ist, nennen wir eine zu /(%) im Intervall (a, adjungierte
Unterfunktion. Beispielsweise ist <p(3) = 7%(3—a) eine solche.
Jede stetige Funktion 7/7(3), für welche
7/7 (a) — 0
D 7/7 (3) ^ / (3) (a < 3 < &)
ist, nennen wir eine zu ^(3) im Intervall (a, &) adjungierte
Oberfunktion. Beispielsweise ist dZ(3—a) eine solche.
Aus der Ungleichung

folgt nach Hilfssatz 1

D (3) < / (3) < df
<p(6)-<p(a) ^

also, weil <p(a) =0 ist,
^7(^7) < df(&— a) .
Die Endwerte <p(&) der adjungierten Unterfunktionen liegen
also unterhalb einer festen Schranke und haben folglich eine
endliche obere Grenze g. Diese ist dadurch eindeutig definiert,
daß, wie klein auch eine positive Zahl e vorgegeben sei, es wenig-
stens eine adjungierte Unterfunktion ^7(3) gibt, für welche
</7(&)>g—e ist, aber keine, für welche (p(&)>g wäre.
Für die adjungierten Oberfunktionen folgt aus der Unglei-
chung
D7/7 (3) A /(3) ;> ?%
analog
7/7(h);>7%(& — %) ,
und folglich haben die Endwerte 7/7 (^7) der adjungierten Oberfunk-
tionen eine endliche untere Grenze U, derart, daß es wenigstens