Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

6 (A. 14)

Oskar Perron:

eine adjungierte Oberfunktion 1/9(39) gibt, für welche ig(&) < U + e
ist, aber keine, für die ig(^) < U wäre.
Nun ist
Dig(39)>/(39);> 7)97(39);
folglich

D(ig(39)— 99(39)) ^ D 1/9(39) A D(—99(39)) — Dig(39) — ^99(39) ^ 0 .

Nach Hilfssatz 1 ist also

(ig (^g) — 99 CTg)) — (ig (39^) — 99 (39^))

d. h. die Funktion ig (39) —99(39) ist monoton wachsend. Wegen
ig (%) = 93 (%) = 0 ist also ig (7) ^9^ (^) ; daher auch U A g.
Wenn hier Gleichheit eintritt: U = g, so nennen wir /(%) inte-
grierbar im Intervall (%, und nennen die Zahl U = g das bestimmte
Integral von /(^), in Zeichen:
&
^/(39)d39 = 0—g .
a
Hiernach gilt für jede adjungierte Unterfunktion
99(39) und für jede adjungierte Oberfunktion ig(39) die Un-
gleichung
&
99 (7) <i / (39) d39 < ig (7) ;
und die Bedingung für Integrierbarkeit lautet:
Wenn e eine beliebig kleine positive Zahl bedeutet,
so muß es eine adjungierte Unterfunktion 99(2) und eine
adjungierte Oberfunktion ig(39) geben, für welche
ig (&) — 93(^) < ^ ist.
Die Worte ,,integrierbar" und ,,Integral" beziehen sich im
folgenden, wenn nicht ausdrücklich das Gegenteil gesagt wird,
stets auf den so definierten Integralbegriff.

§ 3.
Das Rechnen mit bestimmten Integralen.
Wir beweisen jetzt die wichtigsten Rechengesetze für bestimmte
Integrale. Wenn wir dabei, um Schwerfälligkeiten im Ausdruck
zu vermeiden, gewisse Funktionen 99(39), ^(39) einfach als adjun-
gierte Funktionen bezeichnen, so ist mit dem Buchstaben 93 oder 0