Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

12 (A. 14)

Oskar Perron:

n-l
= Z g,.(<P(3.,i) —<P(R-))
:'=0 ^
n-l
^ = Z C (a: , ) — -y; (a:.)) .
:'=0 ^
Also durch Subtraktion:
n-l
!F(&) —0(^) = ^ G. [^(a:.^p ——(i/i(a:.) —^?(a:.))]
n-l
+ Z (C-—g,.)(<p(^.,^) —9?(a:.)) .
{'—0
Hier ist die eckige Klammer nie negativ, weil ^(a;) —<p(a;) nach
§ 2 eine monoton wachsende Funktion ist. Bezeichnet man nun
mitG" die obere Grenze von /g(a:) im Intervall (%, &) so ist
Bezeichnet man ferner mitG' die obere Grenze von ^(a:) im Inter-
vall (a, f?), so ist
_D (p (af) A (^c) A 0' .
Daher nach Hilfssatz 1
<?<A;+i) " 9" <A;) = ^ + i-G') '
Setzt man das oben ein, so erhält man:
n-l
0 (&) — 0 (&) A ^ (a:.^_^) " ^ ^ (R)—^ (^,.))]
+ Z (G-g,.)G(a:.^^-a:.)
n-l
= C (D-y (G) + G Z (C--g,.) (^.+1-^).
Die letzte Summe wird aber beliebig klein, wenn man die
Intervalle (a?;, a^i) genügend klein wählt; das ist gerade die
Bedingung der RiEMANN sehen Integrierbarkeit der Funktion /g(ad.
Ebenso ist ^(^) —^p(^) bei geeigneter .Wahl von <p(a:), ^(a:) beliebig
klein. Also ist auch 0(&) —0(&) beliebig klein; d. h. die Funktion
/i(a?) /g(^) ist integrierbar. W. z. b. w.
§ 4.
Beziehung zum LEBESGUESchen Integral.
Setzt man in Satz 10 speziell /i(a:) = l, so ergibt sich, daß
jede im RiEMANN sehen Sinne integrierbare Funktion auch in
unserem Sinne integrierbar ist. Aus dem Beweis von Satz 10 geht
hervor, daß dann das RiEMANN sehe Integral gleich dem unseren