Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über den Integralbegriff. (A. 14) 11
Grenzfunktion /(3?) konvergieren, so ist auch /(3?) inte-
grierbar, und es gilt die Formel
& &
J /(3?)d% = Dia ^ /^(a;)d3? .
*a ä
Ist e eine beliebig kleine positive Zahl, so ist für genügend
große
/„M —^ < /(^) < + ^ -
Wenn also ^(3?), i/i^(3?) ein zu /^(3?) adjungiertes Funktionenpaar
ist, so wird
0(3?) = q?p(3?)— g(3?—a) , 0(3?) —^1^(3?) (3?—a)
ein solches zu /(3?) sein. Dabei ist
y (&) — 0 (&) — i/i^ (^) — ^ (&) + 2 e (&—a)
beliebig klein. Daher ist gewiß /(%) integrierbar. Sodann wird
/ /(K)dz— f / / (/M —/ M)f^ <<# — ")
womit der Satz bewiesen ist.
SATZ 10. Das Produkt aus einer integrierbaren Funk-
tion /i(a?) und einer im RiEMANNsehen Sinne integrierbaren
Funktion /g(%) ist integrierbar.
Offenbar genügt es, den Satz für positive Funktionen ^(3?),
/s(3?) zu beweisen. Man schalte in das Integrationsintervall (a, &)
Zwischenwerte ein:
a — 3?^ < 3?^ < 3p < - - - < 3p_i < 3?^ = Ü .
Im Intervall (3?,., 3?,._^J sei g,< die untere, G, die obere Grenze
von (die Endpunkte 3p, 3?,._^^ werden dabei wie immer mit
zum Intervall gerechnet). Ist dann <p(3?), 1/1(3?) ein im Intervall
(a, &) zu /i(3?) adjungiertes Funktionenpaar, so definieren wir zwei
Funktionen 0(3?), 0(3?) in folgender Weise:
0(a) = O , 0(a) = O
0 (3?) = 0 (3?J -P g. (^3 (3?) — <p (3?.)) ] für 3?^. A 3? A 3?._^
0 (3?) — 0 (3?^.) -P G. (lg (3?) — 1/1 (3?.) ) j (i — 0, 1, 2, ... 71— 1) .
Augenscheinlich sind, da wir (3?) > 0, (^) > 0 vorausgesetzt
haben, 0(3?), 0(3?) im Intervall (a, &) zu dem Produkt ^(3?) )g(a?)
adjungierte Funktionen. Dabei ist