Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Die Form algebraischer Integrale linearer Differentialgleichungen. (A-11) 5

Nun kann die u-Gleichung entweder nur zwei, nicht durch multi-
plikatorische Konstanten verschiedene Lösungen besitzen, also Ui
und Ug die Form haben

m -

]/ U + ]/ U , U2-]/ri-]/]

worin ri und rg rationale Funktionen von x, Vi, Vg, y3 bedeuten,
während nach (5) Vi iinear mit konstanten Koeffizienten aus Ui
und Ug zusammengesetzt ist, oder es findet für jede andere Lösung
U3 der u-Gleichung, da Ui, Ug, Vi wiederum aus dem oben angege-
benen Grunde nicht Fundamentalintegrale sein können, eine
lineare Beziehung statt
(6) Yi-giUi+ggUg,

weiche in Verbindung mit (5) bei Ausschluß der eben behandelten
Fälle für die algebraische Gleichung in u die Eigenschaft ergeben
würde, daß alle ihre Lösungen homogene lineare Funktionen mit
konstanten Koeffizienten von zwei derselben Ui und Ug sind, wobei
dann Vi in derselben Weise aus Uj und Ug zusammengesetzt ist.
Um nun die Natur der mit Adjungierung von x, yi, yg, y3
irreduktibeln algebraischen Gleichung in u zu untersuchen, welche
die Eigenschaft hat, daß jede ihrer Lösungen eine lineare homogene
Funktion mit konstanten Koeffizienten xon zwei derselben Ui und
Ug ist, bilde man die lineare homogene Differentialgleichung
2ter Ordnung
u ep Cg

(?)

u
Ul
u.
u"
' 1-h
u!

von welcher Ui und Ug zwei algebraische Fundamentalintcgrale
sind, oder

(8)

u" + Y,u' + Y,u = 0 ,

in welcher zunächst Yi und Yg algebraische Funktionen sein werden.
Da aber aus der Gleichung (3) sich

"l = Op + C1U1 + - - - + c^u" *
Ul = To + T1U1 + - - - + T^_iU^

ergibt, worin die 0 und ir rationale Funktionen von x, yi, yg, yg sind,
und durch Substitution in (8)