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https://doi.org/10.11588/diglit.34794#0014
14 (A-11)
L. Koenigsberger:
^3 - R(x,yi,y2,y3^AiiAi2)
ist, worin R eine rationale Funktion der eingeschlossenen Größen
dar st eilt.
Wir linden somit, daß, wenn u.i, u.g, U3 drei algebraische Fun-
damentalintegrale der Differentialgleichung Ordnung sind,
welche einer mit Adjungierung von x, yg, y3, W irreduktibeln
algebraischen Gleichung genügen, dann eines dieser Integrale eine
rationale Funktion der beiden andern ist mit Koeffizienten, welche
in den bezeichnten Größen rational sind, während alle andern
Lösungen der algebraischen Gleichung lineare homogene Funk-
tionen mit konstanten Koeffizienten von u^ U2, U3 sind — analog
dem für Differentialgleichungen 2^? Ordnung früher gefundenen
Satze, daß, wenn Ui und Ug Fundamentalintegrale dieser und zu-
gleich Lösungen derselben algebraischen Gleichung sind, Ug eine
rationale Funktion von u^ ist, während die übrigen Lösungen
dieser irreduktibeln Gleichung lineare homogene Funktionen von
Ui und Ug mit konstanten Koeffizienten sind.
Bevor wir die Natur dieser Gleichungen untersuchen, schicken
wir zunächst eimge Bemerkungen voraus:
Sei die algebraische Gleichung
(21) f (u) = u* + PiU* * + pgf W - - - + Px = 0
gegeben, in welcher pi, pg, . . . Px algebraische Funktionen von x
bedeuten, und sei diese mit Adjungierung jener Größen reduktibel,
so wird, wenn wir eine Lösung derselben mit Ui bezeichnen, und
die gleichartige Gleichung niedrigsten Grades, welche ebenfalls die
Lösung Ui hat,
tB+qirB WqgU^ ^
(22)
+ ... + = 0
ist, diese mit Adjungierung jener algebraischen Funktionen von
x irreduktibel, und daher alle ihre Lösungen auch Lösungen der
Gleichung (21) sein. Es wird daher die identische Zerlegung gelten
+ r, u* ^ -
"' ^ G-x)
und somit durch Division mit u - Ui
L. Koenigsberger:
^3 - R(x,yi,y2,y3^AiiAi2)
ist, worin R eine rationale Funktion der eingeschlossenen Größen
dar st eilt.
Wir linden somit, daß, wenn u.i, u.g, U3 drei algebraische Fun-
damentalintegrale der Differentialgleichung Ordnung sind,
welche einer mit Adjungierung von x, yg, y3, W irreduktibeln
algebraischen Gleichung genügen, dann eines dieser Integrale eine
rationale Funktion der beiden andern ist mit Koeffizienten, welche
in den bezeichnten Größen rational sind, während alle andern
Lösungen der algebraischen Gleichung lineare homogene Funk-
tionen mit konstanten Koeffizienten von u^ U2, U3 sind — analog
dem für Differentialgleichungen 2^? Ordnung früher gefundenen
Satze, daß, wenn Ui und Ug Fundamentalintegrale dieser und zu-
gleich Lösungen derselben algebraischen Gleichung sind, Ug eine
rationale Funktion von u^ ist, während die übrigen Lösungen
dieser irreduktibeln Gleichung lineare homogene Funktionen von
Ui und Ug mit konstanten Koeffizienten sind.
Bevor wir die Natur dieser Gleichungen untersuchen, schicken
wir zunächst eimge Bemerkungen voraus:
Sei die algebraische Gleichung
(21) f (u) = u* + PiU* * + pgf W - - - + Px = 0
gegeben, in welcher pi, pg, . . . Px algebraische Funktionen von x
bedeuten, und sei diese mit Adjungierung jener Größen reduktibel,
so wird, wenn wir eine Lösung derselben mit Ui bezeichnen, und
die gleichartige Gleichung niedrigsten Grades, welche ebenfalls die
Lösung Ui hat,
tB+qirB WqgU^ ^
(22)
+ ... + = 0
ist, diese mit Adjungierung jener algebraischen Funktionen von
x irreduktibel, und daher alle ihre Lösungen auch Lösungen der
Gleichung (21) sein. Es wird daher die identische Zerlegung gelten
+ r, u* ^ -
"' ^ G-x)
und somit durch Division mit u - Ui