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https://doi.org/10.11588/diglit.34794#0016
16 (A. 11)
L. Koenigsberger:
Da
eine rationale Funktion von u und Ui ist, so ergibt sich die al-
gebraische Gleichung in z, die oben allgemein in der Form (20)
angedeutet war, und von welcher und Zg Lösungen sind, durch
Elimination von u aus der Gleichung (13) und
z = io (x,yi,y2,y3,W,Ui) + ri (x,yi,V2,yg,'W, u^) u + - - -
- - - + I*m-1 (x, Yi, Ys, Ysi W, u^) u^ ,
worin die r rationale Funktionen bedeuten, wenn man von dem
u = Uj entsprechenden Werte z =0 absieht, in der Form
(26) z—' + s,z°-2 + ..: + s„_, = o,
in welcher die Koeffizienten Si, ..s^^ rationale Funktionen von
Yn Y2? Y3) Ui sind. Da nun, wie früher gezeigt worden,
Zg eine rationale Funktion von Zi ist, deren Koeffizienten rational
aus eben diesen Größen zusammengesetzt sind, so werden sich,
wie in den früheren Untersuchungen über lineare Differential-
gleichungen 2^r Ordnung näher ausgeführt worden, die Lösungen
der algebraischen Gleichung (26) in z in Gruppen ordnen und unter
den dort angegebenen Bedingungen rational durch [de Wurzeln
aus Funktionen darstellen lassen, welche selbst rational aus
x? Yi? Y2; Y3) ^ und u^ zusammengesetzt sind, in allen diesen. Fällen
würde also die aus der algebraischen Gleichung (13) in u sich er-
gebende Gleichung
^ = u""^ + (pi + UJ u'^ + - - - + (p,n_i + pni-2Ui + - - - + Ui^) = 0
u—Ui '
durch Wurzelzeichen algebraisch auflösbar sein, da aus
U2 = ih/mdx '
weil das Integral nach dem ÄBELschen Satze sich als rationale
Funktion von x, yi, yg, y3, W, Ui und Zj darstellen läßt, folgt, daß
L. Koenigsberger:
Da
eine rationale Funktion von u und Ui ist, so ergibt sich die al-
gebraische Gleichung in z, die oben allgemein in der Form (20)
angedeutet war, und von welcher und Zg Lösungen sind, durch
Elimination von u aus der Gleichung (13) und
z = io (x,yi,y2,y3,W,Ui) + ri (x,yi,V2,yg,'W, u^) u + - - -
- - - + I*m-1 (x, Yi, Ys, Ysi W, u^) u^ ,
worin die r rationale Funktionen bedeuten, wenn man von dem
u = Uj entsprechenden Werte z =0 absieht, in der Form
(26) z—' + s,z°-2 + ..: + s„_, = o,
in welcher die Koeffizienten Si, ..s^^ rationale Funktionen von
Yn Y2? Y3) Ui sind. Da nun, wie früher gezeigt worden,
Zg eine rationale Funktion von Zi ist, deren Koeffizienten rational
aus eben diesen Größen zusammengesetzt sind, so werden sich,
wie in den früheren Untersuchungen über lineare Differential-
gleichungen 2^r Ordnung näher ausgeführt worden, die Lösungen
der algebraischen Gleichung (26) in z in Gruppen ordnen und unter
den dort angegebenen Bedingungen rational durch [de Wurzeln
aus Funktionen darstellen lassen, welche selbst rational aus
x? Yi? Y2; Y3) ^ und u^ zusammengesetzt sind, in allen diesen. Fällen
würde also die aus der algebraischen Gleichung (13) in u sich er-
gebende Gleichung
^ = u""^ + (pi + UJ u'^ + - - - + (p,n_i + pni-2Ui + - - - + Ui^) = 0
u—Ui '
durch Wurzelzeichen algebraisch auflösbar sein, da aus
U2 = ih/mdx '
weil das Integral nach dem ÄBELschen Satze sich als rationale
Funktion von x, yi, yg, y3, W, Ui und Zj darstellen läßt, folgt, daß