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https://doi.org/10.11588/diglit.34797#0021
Die algebraischen Integrale der Riccatischen Differentialgleichung. (A. 12) 21
für x = 0 die siebenfache Lösung v = 0 besitzt, so hat man in An-
wendung bekannter Methoden
= y
oder
v = xv
zu setzen, wodurch die Gleichung (34) in
x"y
x-y" + -t-x'y' + yx'y<
übergeht, aus welcher sich für x = 0 y = oo ergibt, so daß statt
der eben angewandten Substitution auf Gleichung (34) die reciproke
Substitution
(35)
= y
oder
x = vv
angewandt werden muß. Da nun die so resultierende Gleichung
(36)
y'-I Vy-yS = 0
für v = 0 die fünffache Lösung y = 0 liefert, und die Substitution
y
oder
y = vz
eine Gleichung in v und z liefert, welche für v = 0 den Wert z = oo
ergibt, so hat man auf (36) die Substitution
(37)
oder
yz
anzuwenden, und erhält die Gleichung
(38)
yz'+-t-y'z^ + yy^
0,
welche für y = 0 die doppelte Lösung z = 0 liefert.
Da nun für die Substitution
(39)
t
oder
y-t
die sich aus (38) ergebende Gleichung
(40) t^+yy^ + yy^ + Yy^-y ^ p
für y = 0 die doppelte Lösung t = 0 ergibt, und somit auf diese
Gleichung die Substitution
für x = 0 die siebenfache Lösung v = 0 besitzt, so hat man in An-
wendung bekannter Methoden
= y
oder
v = xv
zu setzen, wodurch die Gleichung (34) in
x"y
x-y" + -t-x'y' + yx'y<
übergeht, aus welcher sich für x = 0 y = oo ergibt, so daß statt
der eben angewandten Substitution auf Gleichung (34) die reciproke
Substitution
(35)
= y
oder
x = vv
angewandt werden muß. Da nun die so resultierende Gleichung
(36)
y'-I Vy-yS = 0
für v = 0 die fünffache Lösung y = 0 liefert, und die Substitution
y
oder
y = vz
eine Gleichung in v und z liefert, welche für v = 0 den Wert z = oo
ergibt, so hat man auf (36) die Substitution
(37)
oder
yz
anzuwenden, und erhält die Gleichung
(38)
yz'+-t-y'z^ + yy^
0,
welche für y = 0 die doppelte Lösung z = 0 liefert.
Da nun für die Substitution
(39)
t
oder
y-t
die sich aus (38) ergebende Gleichung
(40) t^+yy^ + yy^ + Yy^-y ^ p
für y = 0 die doppelte Lösung t = 0 ergibt, und somit auf diese
Gleichung die Substitution