Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Die begleitenden Grenzkugeln krummer Flächen.

(A. 3) 9

(8)

P^ "Ir
p^ ^1 ^1
P^ ^1 7),
!)
P2 7)2 ^2
7 Dg —
P^ ^2 ^2
s Dg —
P2 ^2 Tjg
2 y
P3 7)3 Q
2 x
P3 Q 7)3
P3 ^3 7)3

Wenn die Determinante D von Null verschieden ist, so hat
die Aufgabe, durch die Punkte P, P^ Pg, Pg eine Kugel zu legen,
eine und nur eine Lösung. Der Mittelpunkt der Kugel hat in dem
System der E, ?), ^ die Koordinaten

(9)

G) " 2

Di
D

7)0

Dg
D

Dg
D ^

und ihr Halbmesser P wird durch die Gleichung gegeben:

(io)



2
3

D3

Die Gleichung D = 0 besagt, daß die vier Punkte P,-P,, Pg, Pg
in einer Ebene liegen^; in der Tat bedeutet die Determinante P
den mit einem Vorzeichen versehenen sechsfachen Rauminhalt
des aus ihnen gebildeten Vierflachs. Durch die Gleichung (5)
wird, wenn D verschwindet, eine Ebene dargestellt, die durch die
vier Punkte geht und an die Stelle der Kugel tritt, ausgenommen
den Fall, daß nicht nur D verschwindet, sondern zugleich auch
die drei Determinanten Di, Dg, Dg gleich Null sind. Mithin be-
deutet das gleichzeitige Bestehen der Gleichungen
(11) ß = 0, D, = 0, D,=;o, D, = 0,
daß die betrachtete Masche kreisig ist.
Daß man als Bedingung für eine kreisige Masche neben der
Gleichung D=0 die Gleichungen D;=0 gefunden hat, muß

* Die Aussage, daß vier Punkte in einer Ebene liegen, ist in dieser Ab-
handlung stets im strengen Sinne des Wortes zu verstehen. Es ist ein Miß-
brauch des Wortes e&eu, wenn z. B. PETERSON in dem erwähnten Buche
(S. 18) sagt, bei einem konjugierten Netze seien ,,die kleinen Vierecke, welche
von je zwei benachbarten Kurven des einen und zwei benachbarten Kurven
des anderen Systems gebildet werden, eben". In Wirklichkeit ist gemeint,
daß der Abstand eines der vier Eckpunkte der betreffenden Masche von der
durch die drei anderen bestimmten Ebene als eine Größe zweiter Ordnung
anzusehen ist, wenn die Abstände der Eckpunkte von einander als Größen
erster Ordnung angesehen werden.