Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Die begleitenden Grenzkugeln krummer Flächen.

(A. 3) 11

Um die Determinante ZZ zu vereinfachen, werde von der
dritten Zeile die erste und die zweite Zeile abgezogen; ferner ziehe
man aus der ersten Zeile den Faktor A heraus, aus der zweiten
den Faktor A, aus der umgeformten dritten Zeile den Faktor AA.
Dann wird Z) gleich dem Produkt von /P/F mit einer Determinante
Z)', deren erste Spalte aus den drei Elementen besteht:


^ + 2 3^ A + -j,- U + F
+ 2 R,,. A + F A + F

AA + Z ^ A*

die beiden anderen Spalten ergeben sich aus der ersten durch Ver-
tauschung von a; mit z/ und mit z.
Um die Glieder niedrigster Ordnung von ZZ zu erhalten, braucht
man nur in der Determinante ZF A = 0 und A = 0 zu setzen. Wenn,
wie es üblich ist, die Fundamentalgrößen erster Ordnung mit
F, F, U, die Fundamentalgrößen zweiter Ordnung mit F, FZ, ZV
bezeichnet werden, findet man

U ^ ^ : = -1Z I FU--F-.
Mithin beginnt die Entwicklung der Determinante F nach Po-
tenzen von A und A mit dem Gliede

(13) dZ] FU -FF A'W,
ausgenommen den Fall, daß FZ = 0 ist.
Das Verschwinden von Z1Z kann als Bedingung für n und &
aufgefaßt werden; man erhält dann singuläre Punkte der Fläche
in Bezug auf die betrachtete Doppelschar (M, zz). Die Gleichung
dZ = 0 kann aber auch als eine Forderung für die Doppelschar
(n, zj) aufgefaßt werden; dann muß sie identisch in zz und zi be-
stehen und sagt aus, daß die Kurven der beiden Scharen zu ein-
ander Ao/z/Mgie/Z sind.
Für die Aon/ngZezZe/z ZZoppeUcAareH muß die Entwicklung
von ZZ weiter getrieben werden. Die Rechnungen werden er-
leichtert, wenn man beachtet, daß in diesem Falle die Koordinaten