Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Die begleitenden Grenzkugeln krummer Flächen.

(A. 3) 15

Die Gleichung (20) versagt, wenn gleichzeitig
(21) oL = 0, wV = 0
ist. Man kann daher nach den singulären Punkten einer
Fläche fragen, bei denen das Glied sechster Ordnung für jeden
Wert von X wegfällt, und hieran schließt sich die Frage
nach den besonderen Flächen, bei denen für jeden Punkt die Ent-
wicklung von D frühestens mit einem Gliede siebenter Ordnung
beginnt. Wenn aber die Gleichungen (21) identisch in n und &
bestehen sollen, so muß entweder eine der Fundamentalgrößen
zweiter Ordnung L und IV verschwinden oder, wenn das nicht der
Fall ist, gleichzeitig
(22) a = 0, v = 0
sein. Die erste Möglichkeit führt wegen der Gleichung df=0
zu den Flächen vom Krümmungsmaß Null, auf die hier
nicht eingegangen werden soll, die zweite leitet, wie Voss gezeigt
hat*, zu den PETERSONsehen P-Flächen mit der Darstellung:

mm <Pl M + (") + ^2 M
? M + ^ M ' ' ? M + ^ (f)

?3 (^) + ^3 M
(p (n) + ^ (tj)

Die Kurven n^const. und zj = const. bilden eine konjugierte
Doppelschar, die aus AunNcAen Knreen besteht, und umge-
kehrt lassen sich, nach PETERSON, die P-Flächen durch die
Eigenschaft kennzeichnen, daß sie eine aus konischen Kurven
bestehende konjugierte Doppelschar besitzen.
Der Beweis für den Satz von Voss läßt sich so führen. Aus
den Gleichungen
(22') A,-AB = 0, = 0
folgt zunächst, daß ist, mithin gibt es eine Funktion
C(M,t'), sodaß wird. Zur Bestimmung von C hat
man die partielle Differentialgleichung
deren allgemeine Lösung
0= -ln (u) + ^(f) )
^ A. Voss, a. a. O. S. 204.