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https://doi.org/10.11588/diglit.34635#0026
26 (A. 3)
Paul Stäckel:
Die Gleichungen (42) und (43) versagen nur, wenn gleich-
zeitig
(A„-AG)E = 0 , (B.-ßA)G - 0
L - 0, (^-ßA) A = 0
ist. Sieht man die Gleichungen (44) als Bestimmungsgleichungen
für u und n an, so ergeben sich daraus singuläre Punkte der Fläche.
Verlangt man aber, daß sie identisch in u und & bestehen, also für
jeden Punkt des betrachteten Flächenstückes erfüllt sind, so er-
hält man eine besondere Flächengattung, bei der die Frage der
Grenzkugeln eine eigene Untersuchung erfordert. Nun können im
reellen Gebiete A? und G nicht identisch verschwinden, mithin
können die Gleichungen (44) nur dann identisch bestehen, wenn
gleichzeitig die beiden Invarianten
(19)
c = AA?, T = A?.,—A?A
identisch verschwinden. Das ist aber die charakteristische Eigen-
schaft der P-Flächen, und zwar kommen hier nur die besonderen
P-Flächen in Betracht, bei denen die erzeugenden konUcAen AUrcen
zngieicA Airnn^nmng^iinien .Gndh
Hiermit ist folgender Lehrsatz bewiesen:
Lehrsatz II. IFenn die/enigen P-FMeAen nn^ge^cAio^en werden,
deren erzeugende AonUcAe Afnrcen zugieicA AIrün27nM72g.$h'nien Und,
geAöre77 znr DoppeUcAnr der 7trÜ7n777n7?g^ii77ien nU ^egiede7?de
GrenzAngein die Xugein, dere77 AdiMeipnnA^e nu/ der FidcAen77arn7uie*
de^ i?e^re//e72de7? Pn77A^e^ iiegen und deren dfaünne.y.yer Af d72rcA die
GieicA22ng
gegeben werden.
Der Ausdruck für den Halbmesser A? soll jetzt einer ge-
naueren Untersuchung unterzogen werden. Dabei wird voraus-
gesetzt, daß die beiden Invarianten o und v nicht gleichzeitig
verschwinden; der Fall der P-Flächen wird später betrachtet
werden.
* Nach K. PETERSON, a. a. O. 8. 17, ist eine konische Krümmungslinie
zugleich eine sphärische Kurve, deren Kugel die Fläche unter rechtem Winkel
schneidet. Man vergleiche auch die Bemerkungen S. 57 und 8. 97-—102.
Paul Stäckel:
Die Gleichungen (42) und (43) versagen nur, wenn gleich-
zeitig
(A„-AG)E = 0 , (B.-ßA)G - 0
L - 0, (^-ßA) A = 0
ist. Sieht man die Gleichungen (44) als Bestimmungsgleichungen
für u und n an, so ergeben sich daraus singuläre Punkte der Fläche.
Verlangt man aber, daß sie identisch in u und & bestehen, also für
jeden Punkt des betrachteten Flächenstückes erfüllt sind, so er-
hält man eine besondere Flächengattung, bei der die Frage der
Grenzkugeln eine eigene Untersuchung erfordert. Nun können im
reellen Gebiete A? und G nicht identisch verschwinden, mithin
können die Gleichungen (44) nur dann identisch bestehen, wenn
gleichzeitig die beiden Invarianten
(19)
c = AA?, T = A?.,—A?A
identisch verschwinden. Das ist aber die charakteristische Eigen-
schaft der P-Flächen, und zwar kommen hier nur die besonderen
P-Flächen in Betracht, bei denen die erzeugenden konUcAen AUrcen
zngieicA Airnn^nmng^iinien .Gndh
Hiermit ist folgender Lehrsatz bewiesen:
Lehrsatz II. IFenn die/enigen P-FMeAen nn^ge^cAio^en werden,
deren erzeugende AonUcAe Afnrcen zugieicA AIrün27nM72g.$h'nien Und,
geAöre77 znr DoppeUcAnr der 7trÜ7n777n7?g^ii77ien nU ^egiede7?de
GrenzAngein die Xugein, dere77 AdiMeipnnA^e nu/ der FidcAen77arn7uie*
de^ i?e^re//e72de7? Pn77A^e^ iiegen und deren dfaünne.y.yer Af d72rcA die
GieicA22ng
gegeben werden.
Der Ausdruck für den Halbmesser A? soll jetzt einer ge-
naueren Untersuchung unterzogen werden. Dabei wird voraus-
gesetzt, daß die beiden Invarianten o und v nicht gleichzeitig
verschwinden; der Fall der P-Flächen wird später betrachtet
werden.
* Nach K. PETERSON, a. a. O. 8. 17, ist eine konische Krümmungslinie
zugleich eine sphärische Kurve, deren Kugel die Fläche unter rechtem Winkel
schneidet. Man vergleiche auch die Bemerkungen S. 57 und 8. 97-—102.