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https://doi.org/10.11588/diglit.34635#0027
Die begleitenden Grenzkugeln krummer Flächen.
(A. 3) 27
Im allgemeinen ist der Halbmesser 7? eine Funktion des
Verhältnisses X=A':A'. Soll er von X unabhängig sein, so ist
notwendig und hinreichend, daß die Determinante
(45) ov(EN-GE) = 0
ist. Hierbei sind zwei Fälle zu unterscheiden, je nachdem eine der
Invarianten c und v oder der Faktor EN— GE verschwindet.
Ist etwa v=0 und c von Null verschieden, so darf
man durch o kürzen und erhält aus der Gleichung (42):
E
wenn und Eg die Hauptkrümmungshalbmesser der Fläche be-
zeichnen. Es gilt demnach der
Lehrsatz III. kFen.n. m eNenz EnnA^e emer A/wTnmeT?. E/hcAe
hie ei%e her hie EoppeNcA<m her Erhn77mmg^EnN7Z ^ezhgNcAe/z
c H7?.h v eer^cAwi^zhei, whAre^h hie unhere eo/z TVnii
cer^cANhe/z Ni, geAöri zu hie^em EimA^e in Eezng nn/ hie DoppeA
^cAnr her TbriiTnrnnn^iinien eine einzige CrenzAngei, heren AAiiiei-
pnnAi her EihcAennornznie iiegi nnh heren ThnNn^e^er gieicA
einend her Leihen hfnnpiArn/^znznng^AnNn^e^er Ni.
Es kann auch eintreten, daß die Bedingungen T = 0, o ^ 0
für jeden Punkt eines ganzen Flächenstückes erfüllt sind. Nach
der Gleichung (34') ist dann identisch
ö^lnG ^ E^G„
öuöu ^ EG
Diese partielle Differentialgleichung soll hier nicht genauer unter-
sucht werden. Es genüge die Bemerkung, daß sie erfüllt ist, wenn
allein von u abhängt. Dann kann man statt & eine Funktion
von & als GAU sssehe Koordinate einführen, wobei die Koordinaten-
linien unverändert bleiben, und erreichen, daß G=1 wird. Man
gelangt so zu Flächen, bei denen die eine Schar der Krümmungs-
linien aus geo&NNcAen EinN??. besteht.
konnte EN — GE = 0 sein. Ist dann E = 0, so
verschwindet auch N (und umgekehrt) und, weil nach Voraus-
setzung 4Z = 0 isG muß die Fläche eine Ebene sein. Sind aber
E und N von Null verschieden, so wird
(A. 3) 27
Im allgemeinen ist der Halbmesser 7? eine Funktion des
Verhältnisses X=A':A'. Soll er von X unabhängig sein, so ist
notwendig und hinreichend, daß die Determinante
(45) ov(EN-GE) = 0
ist. Hierbei sind zwei Fälle zu unterscheiden, je nachdem eine der
Invarianten c und v oder der Faktor EN— GE verschwindet.
Ist etwa v=0 und c von Null verschieden, so darf
man durch o kürzen und erhält aus der Gleichung (42):
E
wenn und Eg die Hauptkrümmungshalbmesser der Fläche be-
zeichnen. Es gilt demnach der
Lehrsatz III. kFen.n. m eNenz EnnA^e emer A/wTnmeT?. E/hcAe
hie ei%e her hie EoppeNcA<m her Erhn77mmg^EnN7Z ^ezhgNcAe/z
c H7?.h v eer^cAwi^zhei, whAre^h hie unhere eo/z TVnii
cer^cANhe/z Ni, geAöri zu hie^em EimA^e in Eezng nn/ hie DoppeA
^cAnr her TbriiTnrnnn^iinien eine einzige CrenzAngei, heren AAiiiei-
pnnAi her EihcAennornznie iiegi nnh heren ThnNn^e^er gieicA
einend her Leihen hfnnpiArn/^znznng^AnNn^e^er Ni.
Es kann auch eintreten, daß die Bedingungen T = 0, o ^ 0
für jeden Punkt eines ganzen Flächenstückes erfüllt sind. Nach
der Gleichung (34') ist dann identisch
ö^lnG ^ E^G„
öuöu ^ EG
Diese partielle Differentialgleichung soll hier nicht genauer unter-
sucht werden. Es genüge die Bemerkung, daß sie erfüllt ist, wenn
allein von u abhängt. Dann kann man statt & eine Funktion
von & als GAU sssehe Koordinate einführen, wobei die Koordinaten-
linien unverändert bleiben, und erreichen, daß G=1 wird. Man
gelangt so zu Flächen, bei denen die eine Schar der Krümmungs-
linien aus geo&NNcAen EinN??. besteht.
konnte EN — GE = 0 sein. Ist dann E = 0, so
verschwindet auch N (und umgekehrt) und, weil nach Voraus-
setzung 4Z = 0 isG muß die Fläche eine Ebene sein. Sind aber
E und N von Null verschieden, so wird