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https://doi.org/10.11588/diglit.34635#0028
28 (A. 3)
Paul Stäckel:
D D
lL =lv'
also ist D^=Dg und die Fläche eine Kugel.
Jede orthogonale Doppelschar in der Ebene und auf der Kugel
hat bekanntlich die Eigenschaft, daß nicht nur D=0, sondern auch
7K = 0 ist, sie läßt sich also als eine Doppelschar von Krümmungs-
linien ansehen. Hat man eine solche Doppelschar, so kommt es
darauf an, ob die zugehörigen Invarianten c und r von Null ver-
schieden sind, oder nicht. Ist gleichzeitig c = 0und T = 0, so hat
man die Ebene oder die Kugel als D-Fläche zu werten. Ver-
schwindet etwa T, während c von Null verschieden ist, so wird
also gleich dem Halbmesser der Kugel; bei der Ebene
wird 7? unendlich groß. Sind c und - von Null verschieden, so
wird gleichfalls D = = Demnach gilt schließlich der folgende
einfache Lehrsatz:
Lehrsatz IV. Dei /eder or^AogoTnrie/zDoppeDcAur derDde?7e M77d
der Angei, /iir die /zieA^ die Aeiden Dmarim^eTZ c nTzd T cer^cAwi77de77,
6*i7?.d die AegieAe77.de7Z DreTzzAngeAr die DAe7ze M7zd die Angei ^eiA^ü
Was eintritt, wenn c und -r gleichzeitig verschwinden, wird
später hei der Untersuchung der D-Flächen erörtert werden; es
möge aber schon an dieser Stelle darauf hingewiesen werden, daß
der Lehrsatz IV in diesem Falle seine Giltigkeit verlieren kann.
Nachdem die Ausnahmefälle erledigt sind, läßt sich für den
allgemeinen Fall folgender Lehrsatz aussprechen:
Lehrsatz V. Deü"%cA^ 77zun einer Arn7?77ne72, AidcAe, die
Aeizze AAezze nzzd Aeizze Azzgei Nh die DoppeDeAnr der Azdzzzzznzzzzg^-
iiniezz zzzzd ^eiA ^icA Aernzz^, duA die Aeidezz zzzgeAdrigezz dzzeorioTZ^ezz
c zznd T zzicA^ z'deTztDcA cer^cAwizzdezz, ^o giA^ e^ irz Dezzzg nzz/ die
Ariz77Z7?2M7?g.s'ii7rie7z /Ar /edez? DzznAb izz dezzz nicA^ eiwn o oder z
cez^cAwizzdeh eine NcAnr &e^ieAe7?der DrenzAzzgein. Die dfi^eipzzzzA^e
nAer dieser AngeAz iiegen nzz/ der AeAe//endezz AidcAennornznie. Der
AidcAezz^nngen<!e nzA denz DicAüzng^Aoe//izien^ezz X = A' : A' i^ die
DrenzAzzgei znA dezn AzziAzzzeMez'
oAx' + TU
/i - „
aDX^ + zV
zzzgeordzzeZ.
Nach der Erklärung der Maschen darf X jeden endlichen,
von Null verschiedenen Wert annehmen. Man wird aber in Er-
Paul Stäckel:
D D
lL =lv'
also ist D^=Dg und die Fläche eine Kugel.
Jede orthogonale Doppelschar in der Ebene und auf der Kugel
hat bekanntlich die Eigenschaft, daß nicht nur D=0, sondern auch
7K = 0 ist, sie läßt sich also als eine Doppelschar von Krümmungs-
linien ansehen. Hat man eine solche Doppelschar, so kommt es
darauf an, ob die zugehörigen Invarianten c und r von Null ver-
schieden sind, oder nicht. Ist gleichzeitig c = 0und T = 0, so hat
man die Ebene oder die Kugel als D-Fläche zu werten. Ver-
schwindet etwa T, während c von Null verschieden ist, so wird
also gleich dem Halbmesser der Kugel; bei der Ebene
wird 7? unendlich groß. Sind c und - von Null verschieden, so
wird gleichfalls D = = Demnach gilt schließlich der folgende
einfache Lehrsatz:
Lehrsatz IV. Dei /eder or^AogoTnrie/zDoppeDcAur derDde?7e M77d
der Angei, /iir die /zieA^ die Aeiden Dmarim^eTZ c nTzd T cer^cAwi77de77,
6*i7?.d die AegieAe77.de7Z DreTzzAngeAr die DAe7ze M7zd die Angei ^eiA^ü
Was eintritt, wenn c und -r gleichzeitig verschwinden, wird
später hei der Untersuchung der D-Flächen erörtert werden; es
möge aber schon an dieser Stelle darauf hingewiesen werden, daß
der Lehrsatz IV in diesem Falle seine Giltigkeit verlieren kann.
Nachdem die Ausnahmefälle erledigt sind, läßt sich für den
allgemeinen Fall folgender Lehrsatz aussprechen:
Lehrsatz V. Deü"%cA^ 77zun einer Arn7?77ne72, AidcAe, die
Aeizze AAezze nzzd Aeizze Azzgei Nh die DoppeDeAnr der Azdzzzzznzzzzg^-
iiniezz zzzzd ^eiA ^icA Aernzz^, duA die Aeidezz zzzgeAdrigezz dzzeorioTZ^ezz
c zznd T zzicA^ z'deTztDcA cer^cAwizzdezz, ^o giA^ e^ irz Dezzzg nzz/ die
Ariz77Z7?2M7?g.s'ii7rie7z /Ar /edez? DzznAb izz dezzz nicA^ eiwn o oder z
cez^cAwizzdeh eine NcAnr &e^ieAe7?der DrenzAzzgein. Die dfi^eipzzzzA^e
nAer dieser AngeAz iiegen nzz/ der AeAe//endezz AidcAennornznie. Der
AidcAezz^nngen<!e nzA denz DicAüzng^Aoe//izien^ezz X = A' : A' i^ die
DrenzAzzgei znA dezn AzziAzzzeMez'
oAx' + TU
/i - „
aDX^ + zV
zzzgeordzzeZ.
Nach der Erklärung der Maschen darf X jeden endlichen,
von Null verschiedenen Wert annehmen. Man wird aber in Er-