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https://doi.org/10.11588/diglit.34635#0029
Die begleitenden Grenzkugeln krummer Flächen.
(A. 3) 29
Weiterung der ursprünglichen Erklärung auch den Tangenten an
die Krümmungsknien, für die X gleich Null und oder Unendlich ist,
je eine Grenzkugel zuordnen dürfen. Die Formel für P behält
auch für diese Werte von X einen Sinn; es ergibt sich nämlich der
zu der betreffenden Tangente gehörige Hauptkrümmungshalb-
messer..
Der Ausdruck für die Halbmesser der Grenzkugeln gibt
zu ähnlichen Untersuchungen Anlaß, wie sie für den Halbmesser
der Normalschnitte
F/U + P/U FxWP
^ " /AU + AG' " PxW V
angestellt werden. Man erkennt, daß ebenso wie p auch P für
X = 0 und X = co extreme Werte hat, und zwar sind diese Ex-
trema in beiden Fällen die Hauptkrümmungshalbmesser P^
und X?2- Hieraus ergibt sich zugleich eine neue Erklärung
der Hauptkrümmungshalbmesser, die unabhängig ist
von der Betrachtung der Normalschnitte oder der Normalen der
Fläche in der Umgebung des betreffenden Flächenpunktes. Die
Hauptkrümmungshalbmesser sind nämlich die extremen Werte
der Halbmesser der begleitenden Grenzkugeln, die zur Doppel-
schar der Krümmungslinien gehören; dabei sind die Krümmungs-
knien im Anschluß an den Lehrsatz I ebenfalls vermöge der
begleitenden Grenzkugeln zu erklären.
Für das Verhalten von P als Funktion von X sind die Vor-
zeichen der Produkte o - T und P . V maßgebend, und man hat
daher Ader Fälle zu unterscheiden.
1. Pb Produkt c - T and P - V And Aide poxdb. In
diesem Falle geht P, Avenn die Flächentangente sich um den
Punkt P dreht, zwischen den extremen Werten P^ und Ah'
die gleiches Vorzeichen haben, jedesmal entweder beständig Avach-
send oder beständig abnehmend, hin und her; die Werte Null
und Unendlich sind ausgeschlossen.
2. Dax Proda/P c . T b/ nega/b, dax Prodn/d P. A poxdb.
Wiederum haben P^ und Pg, ehe extremen Werte von P,
gleiches Vorzeichen. Der Übergang von dem einen dieser Werte
zu dem andern erfolgt aber durch das Unendliche, und es gibt
daher ein Paar von Flächentangenten, für die P unendlich, und ein
zAveites Paar, für die P Null wird. Diese ausgezeichneten Flächen-
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Weiterung der ursprünglichen Erklärung auch den Tangenten an
die Krümmungsknien, für die X gleich Null und oder Unendlich ist,
je eine Grenzkugel zuordnen dürfen. Die Formel für P behält
auch für diese Werte von X einen Sinn; es ergibt sich nämlich der
zu der betreffenden Tangente gehörige Hauptkrümmungshalb-
messer..
Der Ausdruck für die Halbmesser der Grenzkugeln gibt
zu ähnlichen Untersuchungen Anlaß, wie sie für den Halbmesser
der Normalschnitte
F/U + P/U FxWP
^ " /AU + AG' " PxW V
angestellt werden. Man erkennt, daß ebenso wie p auch P für
X = 0 und X = co extreme Werte hat, und zwar sind diese Ex-
trema in beiden Fällen die Hauptkrümmungshalbmesser P^
und X?2- Hieraus ergibt sich zugleich eine neue Erklärung
der Hauptkrümmungshalbmesser, die unabhängig ist
von der Betrachtung der Normalschnitte oder der Normalen der
Fläche in der Umgebung des betreffenden Flächenpunktes. Die
Hauptkrümmungshalbmesser sind nämlich die extremen Werte
der Halbmesser der begleitenden Grenzkugeln, die zur Doppel-
schar der Krümmungslinien gehören; dabei sind die Krümmungs-
knien im Anschluß an den Lehrsatz I ebenfalls vermöge der
begleitenden Grenzkugeln zu erklären.
Für das Verhalten von P als Funktion von X sind die Vor-
zeichen der Produkte o - T und P . V maßgebend, und man hat
daher Ader Fälle zu unterscheiden.
1. Pb Produkt c - T and P - V And Aide poxdb. In
diesem Falle geht P, Avenn die Flächentangente sich um den
Punkt P dreht, zwischen den extremen Werten P^ und Ah'
die gleiches Vorzeichen haben, jedesmal entweder beständig Avach-
send oder beständig abnehmend, hin und her; die Werte Null
und Unendlich sind ausgeschlossen.
2. Dax Proda/P c . T b/ nega/b, dax Prodn/d P. A poxdb.
Wiederum haben P^ und Pg, ehe extremen Werte von P,
gleiches Vorzeichen. Der Übergang von dem einen dieser Werte
zu dem andern erfolgt aber durch das Unendliche, und es gibt
daher ein Paar von Flächentangenten, für die P unendlich, und ein
zAveites Paar, für die P Null wird. Diese ausgezeichneten Flächen-