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https://doi.org/10.11588/diglit.34636#0024
24 (A.4)
Oskar Perron:
§ 7-
Kettenbrüche mit alternierendem Bildungsgesetz.
In der Literatur kommen vielfach Kettenbrüche vor, deren
Glieder kein einheitliches, sondern ein alternierendes Bildungs-
gesetz befolgen. Dieser Übelstand verschwindet, wenn man die
Kettenbrüche durch Matrixprodukte ersetzt. Beispielsweise ent-
hält die obige Formel (49.) einen solchen Kettenbruch, den man
aber durch ein Matrixprodukt ersetzen kann, wodurch die be-
quemere Formel (48.) entsteht.
Um diese Möglichkeit allgemein zu untersuchen, gehen wir
aus von dem Kettenbruch (35.). Dieser wird, wenn man ihn
durch &o dividiert, und wenn F =j= 0, <^ ={= 0 ^t, äquivalent mit
(50.)
(51.
X = 0
do di
A, !
di dg
+
^o Co
Co ^1
ul
Ci
] 1
1
! ^
F[ ^ +
^x
+ 0,
so ist
dann
nach Satz 5
, falls
der Kettenbruch (50.) gleich
t
U ist,
^x
)"
1
: 0, falls dei
Kettenbruch (50.) unwesent-
lieh divergiert.
Liegt nun irgend ein mindestens im weitern Sinne konver-
genter Kettenbruch -mit alternierendem Bildungsgesetz vor, bei
dem kein Teilnenner verschwindet, so kann man mit ihm gerade
so verfahren wie soeben mit dem Kettenbruch (35.), d. h. man
darf ihn in der Gestalt voraussetzen:
ßl , <*2 , ßz ,
(52.)
1— —
' 1 ' 1 ' 1 ' 1
wo also alle Teilnenner gleich 1 sind. Der Kettenbruch (52.)
M
sei gleich wobei im Fall unwesentlicher Divergenz L? = 0, M =j= 0
zu setzen ist.
Um den Kettenbruch (52.) mit (50.) zu idenficieren, hat man
cq d^ A^
6). ^ ^ ^ C),"
MX+l
A+l
zu setzen. Diese Gleichungen gestatten unendlich viele Auf-
lösungen ; am einfachsten ist folgende:
ah = 1 + °h+i' ^X = ßx+i'
<h = 1 , ^x = ßx+i-
Oskar Perron:
§ 7-
Kettenbrüche mit alternierendem Bildungsgesetz.
In der Literatur kommen vielfach Kettenbrüche vor, deren
Glieder kein einheitliches, sondern ein alternierendes Bildungs-
gesetz befolgen. Dieser Übelstand verschwindet, wenn man die
Kettenbrüche durch Matrixprodukte ersetzt. Beispielsweise ent-
hält die obige Formel (49.) einen solchen Kettenbruch, den man
aber durch ein Matrixprodukt ersetzen kann, wodurch die be-
quemere Formel (48.) entsteht.
Um diese Möglichkeit allgemein zu untersuchen, gehen wir
aus von dem Kettenbruch (35.). Dieser wird, wenn man ihn
durch &o dividiert, und wenn F =j= 0, <^ ={= 0 ^t, äquivalent mit
(50.)
(51.
X = 0
do di
A, !
di dg
+
^o Co
Co ^1
ul
Ci
] 1
1
! ^
F[ ^ +
^x
+ 0,
so ist
dann
nach Satz 5
, falls
der Kettenbruch (50.) gleich
t
U ist,
^x
)"
1
: 0, falls dei
Kettenbruch (50.) unwesent-
lieh divergiert.
Liegt nun irgend ein mindestens im weitern Sinne konver-
genter Kettenbruch -mit alternierendem Bildungsgesetz vor, bei
dem kein Teilnenner verschwindet, so kann man mit ihm gerade
so verfahren wie soeben mit dem Kettenbruch (35.), d. h. man
darf ihn in der Gestalt voraussetzen:
ßl , <*2 , ßz ,
(52.)
1— —
' 1 ' 1 ' 1 ' 1
wo also alle Teilnenner gleich 1 sind. Der Kettenbruch (52.)
M
sei gleich wobei im Fall unwesentlicher Divergenz L? = 0, M =j= 0
zu setzen ist.
Um den Kettenbruch (52.) mit (50.) zu idenficieren, hat man
cq d^ A^
6). ^ ^ ^ C),"
MX+l
A+l
zu setzen. Diese Gleichungen gestatten unendlich viele Auf-
lösungen ; am einfachsten ist folgende:
ah = 1 + °h+i' ^X = ßx+i'
<h = 1 , ^x = ßx+i-