Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über den Abelschen Fundamentalsatz der Integralrechnung 11. (A. 6) 19

Bilden die Lösungen der algebraischen Gleichung jedoch
Xg Gruppen von je x^ Elementen, worin x — x^ - x^ ist, und in
denen
' " (Hs-l)
rp, Ui, i<i, ..., rp
die Anfangselemente sein mögen, so untersuche man zunächst
nach ÄBEL, um zu sehen, ob die algebraische Gleichung (10)
wiederum durch Wurzelzeichen algebraisch auflösbar ist, die Glei-
chung
(u - Ul) (u - F (uh) (u - -9-3 (uh) ... (u - F*'"' (uh) = 0 ,
dann wird nach der Theorie der ähnlichen Funktionen nur einer
der Koeffizienten dieser Gleichung zu ermitteln sein, da alle
andern sich rational durch, diese und die Koeffizienten der Glei-
chung (10) ausdrücken lassen. Nehmen wir nun als zu bestim-
menden Koeffizienten den Ausdruck
Yi = ep + h (rp) + F^ (rp) + - - - + -9*^(uj ,
von dem wir zunächst annehmen wollen, daß er nicht identisch
Null ist, so werden, wenn die dem yi analogen Größen der andern
Gruppen mit
' // (X3—i)
Yi, Ym - - - ' Yi
bezeichnet werden, diese Größen als Lösungen der Gleichung
(y - yj (y - y^) - - - (y - y^) - o
zu betrachten sein, deren Koeffizienten als symmetrische Funk-
tionen sämtlicher Lösungen der Gleichung (10) bekannte rationale
Funktionen von x, y, w sind, um sodann yi durch Auflösung
dieser Gleichung zu ermitteln.
Bemerkt man aber, daß y^ y^ , ... als lineare Zusammen-
setzungen von Integralen der Differentialgleichung wieder Integrale
derselben sind, so wird die y-Gleichung wiederum den Charakter
der u-Gleichung (10) haben, irreduktibel zu sein und von der
Beschaffenheit, daß alle ihre Lösungen Integrale der Differential-
gleichung sind, und daß ihr erster Koeffizient gleich Null ist, weil er
die Summe aller Lösungen von (10) darstellt, in welcher s^ (x, y, w)
= 0 war, so können wir diese Gleichung wieder wie oben behandeln.
Bilden ihre Lösungen nur eine Gruppe — was wieder stets der
Fall sein wird, wenn Xg eine Primzahl ist —, so können wir die-

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