Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

14 (A.12)

LEO KoENIGSBERGER:

so würde der Annahme zufolge, daß v] nicht einer algebraischen
Differentialgleichung von niederer Ordnung als der genügen
sollte, der Ausdruck <po(x,7],nur dann verschwinden
können, wenn <Po(vy,y',...y^"^) identisch verschwindet, und die
obige identische Beziehung in
P = (Q, Q',... + (Q, Q',... Q"""A + " -
übergeht. Hieraus folgt aber wiederum der Satz,
daß alle Integrale von Q = 0 auch der Differential-
gleichung P = 0 angehören, und die eben aufgestellte iden-
tische Beziehung liefert zugleich wieder ein Mittel, um Kriterien
für die Reduktibilität der algebraischen Differentialgleichung n^**
Ordnung aufzustellen. Es möge nur noch bemerkt werden, daß die
eben aufgestellte identische Beziehung zwischen P,Q,Q',...Q^"'^
auch bestehen wird, wenn wir nicht annehmen, daß P = 0 und
Q = 0 ein gemeinsames Integral besitzen, welches nicht schon einer
algebraischen Differentialgleichung von niederer Ordnung als der
mten genügt, sondern auch unter der Voraussetzung, daß alle Inte-
grale der Differentialgleichung m^ Ordnung Q^=0 auch der Diffe-
rentialgleichung P=0 genügen, deren Ordnung größer als m ist,
da in diesem Falle alle Integrale von Q = 0 auch die Differen-
tialgleichung m—P"r Ordnung To(x,y,y,...y^"^) = 0 befriedigen
müßten, was nur der Fall sein kann, wenn % identisch verschwindet.
Zur wirklichen Ausführung und Anwendung auf die Ermitt-
lung von Irreduktibilitätskriterien ist es jedoch nötig, die Beziehung
zwischen P,Q,Q',... in geschlossener Form zu entwickeln, indem
man von den Gleichungen
P = G(x, y, y,... y^), Q - g(x, y, y ,... y^)
ausgeht, worin G und g ganze Funktionen ihrer Argumente sind,
und mit diesen beiden die Beziehungen zusammenstellt

Q'= gi(x,y,y',...y"'"), Q"= g'A.y,y',...y""^')....
Q''-"' = g.-.(x,y,y',...y'°');

die durch Elimination von y^,y^*^, ...y^ aus diesen n—m+2
Gleichungen sich ergebende Gleichung