Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Neue Existenzsätze für implizite Funktionen.

(A.6) 11

habe eine stetige Lösung y = Dann ist 77 = 77(2) eine stetige
Funktion von 2, die für 2 = 0 den Wert 0 hat, und es ist
(13.) 0(2,?7) = O .
Nun liefert der TAYLOR sehe Satz die Identitäten:
(14.) F(3,y) = (P (3,y) + -A [F"" (3, Ay) - F'"< (0,0)] 0 < F,< 1,
(15.) F'(3,y) = ^'(3,y)+-^-^-[F'"'(3,!?,y)-F'"'(0,0)] 0<^,<1.
Ferner ist
(16.) F(2,?/)-F(2,^)+(y-^)F'(2,??) + ^y-F"(2,^+0o(y-^)) O<0Q<I 1
(17.) F'(2,2/) = F'(2,^) + (y-^)F"(2,^+0^(y-^)) O<0^<1 .
Setzt man in (16.) auf der rechten Seite für F(2,7?) und F'(2,??)
die Werte ein, die sich aus (14.) und (15.) speziell für 77 = 77 ergeben,
wobei auch (13.) zu beachten ist, so folgt:

(18.)

(v—
^(3W) = (?/-??) <^ + - F"(2,^ + 0o(?/-^))
+ -' [F""(3,F,y)-FM(0,0)]
+ (y-y) [r'"(3,#,y)-FW(0,0)] .

Ebenso ergibt sich aus (17.):
F'(2,?/) = 0'(2, 77) + (77-77) F" (2, ?7+0i (1/-??))
F"'CV,4)-F'"'(0,0)] .
Nunmehr setzen wir voraus, daß es eine positive Zahl c gibt
derart, daß