Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Neue Existenzsätze für implizite Funktionen.

(A. 6) 13

2/ = 77 + 0'(;K, 77)
einsetzt:
JK-l
1 ) 77 F ,
[ F(%, y) + 0' (33 77)^ [ ^ — 0' ^ (^D?)^ + (n^iy! ^ ^ ^
weil wir ja c<y angenommen haben und [77] <1 annehmen dür-

fen, indem wir hr
) klein genug denken.
Daher ist insbesondere
F(37,7/)
+ 0'(2r,?7^<-§-0'(2:,77^
für 7/ = 77 — 0 (3377)
^(v y)
-0'(37, 77)2>-y0'(;r,?7)3
für 7/ = 77 + 0^3^,77)
und also erst recht
(23.)
F(a?,7/)<0
1!
1
W
(24.)
F(3:,7/)>0
für 7/ = 77 + 0'(a?,77)
Ferner folgt,
wenn 7/ dem Intervall
(25.)
77-]0'(;r,77)l<7/^77+]
0'(3?,77)]

angehört, aus (22):
[(3?,2/)- (R,??) ] ^ ] (3t 77)I + -^— 10'(3;,27)] <-^- [0'(3;,77)] .
(77,-1)!
Daher ist F'(2:,7/) als Funktion von 7/ im Intervall (25.) von Null
verschieden und hat konstantes Vorzeichen, nämlich das Vorzeichen
von 0'(a;, 77). Die Funktion 0(337/) ist also in diesem Intervall
monoton ohne Konstanzstellen, und hat wegen (23.) und (24.)
eine Nullstelle, und zwar wegen der Monotonie mir ehre.
Somit gibt es zu jedem Wert 2: in genügender Nähe der Stelle
3? = 0, wenn 0^,77) =j= 0 ist, im Intervall (25.) gernm e;Ve7i Wert 7/,
für den F(3?,7/) = 0 ist. Das gleiche gilt aber nach dem vorher Be-
wiesenen auch, wenn 0'(33 7/) = O ist, in welchem Fall das Inter-
vall (25.) auf die Stelle 77 zusammenschrumpft.
Wir wollen noch zeigen, daß 7/ eine Funktion von % ist,
die für ^77737 = 0 dem Wert 0 zustrebt. Es ist