Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Die hypergeom. Reihe für sehr große Parameter. II.

(A.1) 13

(!7.)

F(a,^,y;x)= "Afa,u-y+l,n+;3-y+l;^ ^
^ y (y-u)v (u+p-y+t) \ ^

in dieser Formel können nachträglich aus Stetigkeitsgründen
auch alle reellen Werte von 2: außer 0 und 1 zugelassen werden;
natürlich ist dann zwischen %+0i und 3?—Oi zu unterscheiden.
Daß ferner die bisher notwendigenBedingungeniR(a)>0,iR(y-a)>0
überflüssig sind, ergibt sich aus dem Prinzip der analytischen Fort-
setzung, wenn man bedenkt, daß

1 , ,
eine ganze Funktion von ist. Will man sich hierauf nicht
berufen, so ergibt sich das gleiche aus der leicht zu verifizierenden
Bemerkung, daß die beiden Terme auf der rechten Seite von (17.)
den Funktionalgleichungen (3.) und (4.) genügen. Auch die Be-
dingung y + i)>0 läßt sich beseitigen; doch ist das für unsere
Zwecke nicht nötig, da bei der Anwendung an Stelle von ^
tritt, so daß sie wegen r? -^00 von selbst erfüllt ist.
Setzt man in (17.) /? + ??. an Stelle von /?, so ist das asym-
ptotische Verhalten für beide Terme der rechten Seite aus Formel
(8.) bekannt, und es ergibt sich:

(iS.)

A(a,^ + 7py; %)
v (-") (w-M ''(p* (x-i)"
F(y-u) '' i \ '' /F(u+^-y + t + ^ + r)

r(u)^ ^ ^ ,e.


F(/i-y + l+^)r! /l^
/'(if-u+l + ^.+y) \2:

Hierbei darf für ]1—a^cl die erste Zeile rechts wegfallen, weil
ihre Glieder infinitär kleiner sind als die der zweiten; für j l—2}>1