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https://doi.org/10.11588/diglit.36386#0043
Die hypergeom. Reihe für sehr große Parameter, il. (A. 1) 35
Wir haben bisher in diesem Paragraphen die Einschränkung
3i(a)>0 machen müssen. Um sich nachträglich von dieser zu be-
freien, kann man etwa zu beweisen versuchen, daß die gefundenen
asymptotischen Reihen der Funktionalgleichung
F(a,,d—a:
(^-n)(y+^-a)^
(7+^) (y+"+l)
) = F(a + 1,^—M,y + f+/?.; E)
a:F(a + l,/? + l—/?.,y + 2 + ^; a:
)
genügen. Die direkte Verifikation dieser Tatsache dürfte nicht
leicht sein. Man kann aber in folgender Weise schließen. Die
Formel (28.) ist völlig äquivalent mit einer Formel der Gestalt
(35.) F(a,^ —7?,y + %;a:)
/(l-a?)"Y_F(^+y) ^ 0„(T^y;x)
\ —4a: / T*(^ + y—a+2)
deren Koeffizienten sich durch formale Umformung der Reihe
nach berechnen lassen. Sie sind jedenfalls bei konstantem jd,y,a:
als Funktion von u überall im Endlichen bis auf Pole regulär.
Da nun die F-Funktion der Funktionalgleichung (34.) genügt, und
da für 9t(a)>0 die Beziehung (35.) gilt, so muß für 9f(a)>0 auch
r(^+y)_ co 0^(a^y;j;) F(^+y+'f) ^ (P,(a+l,^,y+l;^
F(^+y-a+^) "0 F(^+y-a+2) n"
(^-n)(y+^-a) 7^(n,+y+2) ^ 0„(u+l,/Wl,y+2;a:)
(y+^)(y+n-+l) f(/z+y-a+2) ^
sein, oder nach leichter Reduktion:
(36.)
^ <2k(a,^,y;a:)
(^+7)
v
1^=0
0^(a + l,^,7 + l; a:)
(^-n.)(y + ^-a) 0„(a+l,,d-i-l,y + 2;a:)
n.+y — ct-f- ^ f=o %
3*
Wir haben bisher in diesem Paragraphen die Einschränkung
3i(a)>0 machen müssen. Um sich nachträglich von dieser zu be-
freien, kann man etwa zu beweisen versuchen, daß die gefundenen
asymptotischen Reihen der Funktionalgleichung
F(a,,d—a:
(^-n)(y+^-a)^
(7+^) (y+"+l)
) = F(a + 1,^—M,y + f+/?.; E)
a:F(a + l,/? + l—/?.,y + 2 + ^; a:
)
genügen. Die direkte Verifikation dieser Tatsache dürfte nicht
leicht sein. Man kann aber in folgender Weise schließen. Die
Formel (28.) ist völlig äquivalent mit einer Formel der Gestalt
(35.) F(a,^ —7?,y + %;a:)
/(l-a?)"Y_F(^+y) ^ 0„(T^y;x)
\ —4a: / T*(^ + y—a+2)
deren Koeffizienten sich durch formale Umformung der Reihe
nach berechnen lassen. Sie sind jedenfalls bei konstantem jd,y,a:
als Funktion von u überall im Endlichen bis auf Pole regulär.
Da nun die F-Funktion der Funktionalgleichung (34.) genügt, und
da für 9t(a)>0 die Beziehung (35.) gilt, so muß für 9f(a)>0 auch
r(^+y)_ co 0^(a^y;j;) F(^+y+'f) ^ (P,(a+l,^,y+l;^
F(^+y-a+^) "0 F(^+y-a+2) n"
(^-n)(y+^-a) 7^(n,+y+2) ^ 0„(u+l,/Wl,y+2;a:)
(y+^)(y+n-+l) f(/z+y-a+2) ^
sein, oder nach leichter Reduktion:
(36.)
^ <2k(a,^,y;a:)
(^+7)
v
1^=0
0^(a + l,^,7 + l; a:)
(^-n.)(y + ^-a) 0„(a+l,,d-i-l,y + 2;a:)
n.+y — ct-f- ^ f=o %
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