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https://doi.org/10.11588/diglit.36386#0065
Die hypergeom. Reihe für sehr große Parameter. II.
(A. 1) 57
Dann ist die Summe nach 2 im wesentlichen eine endliche hyper-
geometrische Reihe, nämlich:
\
x = 0
= t
a + r
-y,d-r + l; '
und es ergibt sich
Hilfssatz 11. Sind a,^,y,d,y,z beliebige Zahlen, jedoch
9!(a)>0, so gibt es eine positive Zahl 77 derart, daß für 0<e<^
die asymptotische Formel gilt:
/ (l+y y (l + Z/^d 1 +
1A Z /
d/
2 ^
v —0
r
a+r
n+r
-r,- -y,d-r + l;
F /7A^-
a + r
r(K+/i)
für /? co .
Hieraus folgt weiter
Hilfssatz 12. Sind jd,y,d,y,z beliebige Zahlen, so gibt es
eine positive Zahl 77 derart, daß für 0<e<?7 die asymptotische
Formel gilt:
( (^+2/^(l+^W'l +
1A Z /
-M—/S
d/
°° / d
^ (^+2)//'" F -2r, -r-y- 2 , d-2r Al;
r (^+^ — 2
T(^+^r
für % —^ co .
In der Tat ist dieses Integral gleich
r
( (l + ^^(l + 2/)'^l +
+ / (i-yy(i-zyü+
1 + z/
/'
d/
d/
und hierauf läßt sich sofort Hilfssatz 11 mit a = l anwenden.
(A. 1) 57
Dann ist die Summe nach 2 im wesentlichen eine endliche hyper-
geometrische Reihe, nämlich:
\
x = 0
= t
a + r
-y,d-r + l; '
und es ergibt sich
Hilfssatz 11. Sind a,^,y,d,y,z beliebige Zahlen, jedoch
9!(a)>0, so gibt es eine positive Zahl 77 derart, daß für 0<e<^
die asymptotische Formel gilt:
/ (l+y y (l + Z/^d 1 +
1A Z /
d/
2 ^
v —0
r
a+r
n+r
-r,- -y,d-r + l;
F /7A^-
a + r
r(K+/i)
für /? co .
Hieraus folgt weiter
Hilfssatz 12. Sind jd,y,d,y,z beliebige Zahlen, so gibt es
eine positive Zahl 77 derart, daß für 0<e<?7 die asymptotische
Formel gilt:
( (^+2/^(l+^W'l +
1A Z /
-M—/S
d/
°° / d
^ (^+2)//'" F -2r, -r-y- 2 , d-2r Al;
r (^+^ — 2
T(^+^r
für % —^ co .
In der Tat ist dieses Integral gleich
r
( (l + ^^(l + 2/)'^l +
+ / (i-yy(i-zyü+
1 + z/
/'
d/
d/
und hierauf läßt sich sofort Hilfssatz 11 mit a = l anwenden.