Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Summen und Differenzen ungerader Primzahlen. I. (A. 15) 5

§ 1
Das Sieb des ERATOSTHENES und die Liickenzahlen l-ter Stufe
ERATOSTHENES hat ein einfaches und naturgemäßes Verfahren
zur Ermittelung der ungeraden Primzahlen angegeben^. Er
geht aus* von der Folge der ungeraden Zahlen, die er mit der ersten
ungeraden Primzahl 3 beginnen läßt. Alan streiche, so lautet seine
Regel, jede dritte Zahl hinter der 3 und entferne so die Adelfachen
von 3; die erste stehengebliebene Zahl 5 ist die zweite ungerade
Primzahl. Alan streiche nunmehr in der Folge der ungeraden Zahlen
jede fünfte Zahl hinter der 5; die vorher für die Zahl 3 vollzoge-
nen Streichungen werden dabei nicht berücksichtigt. Nachdem
man die Vielfachen von 5 beseitigt hat, ist die erste stehengeblie-
bene Zahl 7 die dritte ungerade Primzahl. Alan fahre fort, in ent-
sprechender Weise zu streichen, immer die bei den vorhergehen-
den Schritten vollzogenen Streichungen nicht berücksichtigend,
stelle die erste von der Gesamtheit der Streichungen nicht be-
troffene Zahl in die Reihe der ungeraden Primzahlen und vollziehe
hinter und mit ihr die nächsten Streichungen.
AVenn man das Verfahren der Siebung wirklich durchführt,
so folgen, je weiter man geht, um so mehr Primzahlen auf die erste
von der Gesamtheit der Streichungen nicht betroffene Zahl. Zum
Beispiel erhält man nach Streichung der durch 3,5,7,11 teilbaren
ungeraden Zahlen hiuter der fünften Primzahl 13 noch die 33 Prim-
zahlen, die von 17 bis 167 reichen, und erst die 34ste nicht durch-
strichene Zahl, 169, ist zusammengesetzt. AA'ird allgemein die r-te
ungerade Primzahl mit p, bezeichnet, sodaß
Pi = 3, Pa = 5, pg = 7, P4=ll, ...
ist, so erhält man nach Streichung der durch p^, pg, - - -, p, teil-
baren ungeraden Zahlen hinter der Anfangszahl p,_^ die zwischen
i Vgl. M. ÜANTOR, Vorlesungen zur Geschichte der Mathematik, Bd. f,
3. Aufl., Leipzig 1907, 8. 332.