Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Summen und Differenzen ungerader Primzahlen. 1. (A. 15) 15

die sich als das Produkt der zu den ungeraden Primteilern /
von 2n gehörenden Multiplikatoren
(13)
darstellt. Die in der Gleichung
(14) G,(2n) - W,(2n) . ^(2n)
aultretenden Funktionen !F, (2 7a) und ^(2n) sollen die Wachs-
tum s tun kt ion und die Schwan kungsfunktion von G,.(2n)
genannt werden.
Es ist bemerkenswert, daß die Form des Multiplikators 37 (p)
von der Stufenzahl r unabhängig ist. Wohl aber entscheidet die
Stufenzahl, welche Multiplikatoren in die Schwankungsfunktion
aufzunehmen sind, denn auf der r-ten Stufe werden nur die r ersten
ungeraden Primzahlen 3,5, ...,p, wirksam. Bei genügend hoher
Stufenzahl sind schließlich sämtliche ungerade Primteiler von 2 7t
zn berücksichtigen, und von einer gewissen Stufenzahl an ist der
geraden Zahl 2n stets dieselbe Schwankungsiünktion 5* (2 72.) zu-
zuordnen, zu der alle ihre ungeraden Primteiler einen Beitrag lie-
fern. Man gelangt um so später zur Funktion S*(2n), je größer
die Primteiler von 2 7t sind, am spätestens also, wenn 7t eine Prim-
zahl ist.
Die Werte der Schwankungsfunktionen 5*,. (2 7t) sind nicht in
endlichen Grenzen beschlossen, bei geeigneter Wahl von r und 2%
läßt sich vielmehr erreichen, daß 5*^(2 7t) größer wird als jede ge-
gebene, noch so große Zahl Z. Man hat nämlich

(15) -S,(2R)

n r'

— 3

ü G-ü.
Di pW*3)

n W
p = l Po

Der erste Faktor nähert sich, wenn r unendlich wird, einem end-
lichen Grenzwerte, nämlich dem Werte 2:% Gl. 25);
dabei ist x = 1,320. Für den zweiten Faktor gilt nach MERTENS^
die asymptotische Gleichnng
^ F. MERTE^s, Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie, Journ. f.
Math. 78 (1874), 8. 53.