Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

(A. 9) 7

?/ ?= A cos(;y"+Z?) ,
wo reelle Integrationskonstanten sind. Daraus folgt sogleich,
daß der Grenzwert lim - für kein reelles Integral existiert.
Durch andere Wahl von /(%) und gemäß den obigen Be-
dingungen lassen sich beliebig viele Differentialgleichungen vom
Typus A mit reellen Koeffizienten angeben, bei welchen der Grenz-
wert lim für kein reelles Integral existiert. All diese Differen-
tialgleic-hungen haben aber die Eigenschaft, daß es doch gewisse
Partikulärintegrale gibt, allerdings nur imaginäre, für welche der
fragliche Grenzwert existiert. Denn es ist ja
lim — = lim + = 0 ,
*=°c 2/3 %=co
lim = üm —^'(3;)) = 0 .
Hiernach ist noch immer die Vermutung gerechtfertigt, daß es
bei Differentialgleichungen vom Typus A stets wenigstens gewisse
y' .
Partikulärintegrale gibt, für welche lim =0 ist. Aber auch diese
Vermutung ist falsch; vielmehr werden wir im nächsten Paragra-
phen Beispiele konstruieren, bei welchen der fragliche Grenzwert
für kein einziges Integral existiert.
§ 3.
Sei eine für f>0 stetige Funktion von f, welche folgen-
den drei Forderungen genügt :
(1.) > 0 für f > 0 ,
(2.) lim = 0 ,
?= 00
(3.) J suP f df = endlich .
0
1
Man kann z.B. = oder = e ' wählen.