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https://doi.org/10.11588/diglit.36394#0008
Wegen der Forderung (3.) ist das integral
(4.) j (?) sim ? d ? = zu (a)
für a>0 eine Funktion von a, und zwar ist
(5.)
(6.)
zu(a)>0
bmzu(a) = 0.
Nach (4.) hat die Funktion zu(a) eine Ableitung:
(7.) za'(a) = — ?/'(a) sin"a .
für a > 0 ,
Setzt man nun weiter
so wird dadurch 3? wegen (5.) als wachsende Funktion von a ohne
Konstanzintervalle definiert. Durch sie. wird das Intervall (OAacoo)
umkehrbar eindeutig auf das Intervall (OA^cco) abgebildet; denn
wegen (6.) wächst mit a auch 3? ins Unendliche. Daher ist auch
umgekehrt a eine wachsende Funktion von 3U
(9.) a = a(3^) (für 3^ > 0) ;
und es ist
(10.)
lim a (3?) = oo .
Die Funktion a = a(;y) erweist sich nach (8.) als differenzierbar,
, . da
und zwar ergibt sich für ihre Ableitung a = a (3;) =- der Wert
^ ^ d3?
(M.)
a = zu
(A
Nach diesen Vorbereitungen wollen wir nun eine lineare Dif-
ferentialgleichung vom Typus A bilden, deren eines Integral
(4.) j (?) sim ? d ? = zu (a)
für a>0 eine Funktion von a, und zwar ist
(5.)
(6.)
zu(a)>0
bmzu(a) = 0.
Nach (4.) hat die Funktion zu(a) eine Ableitung:
(7.) za'(a) = — ?/'(a) sin"a .
für a > 0 ,
Setzt man nun weiter
so wird dadurch 3? wegen (5.) als wachsende Funktion von a ohne
Konstanzintervalle definiert. Durch sie. wird das Intervall (OAacoo)
umkehrbar eindeutig auf das Intervall (OA^cco) abgebildet; denn
wegen (6.) wächst mit a auch 3? ins Unendliche. Daher ist auch
umgekehrt a eine wachsende Funktion von 3U
(9.) a = a(3^) (für 3^ > 0) ;
und es ist
(10.)
lim a (3?) = oo .
Die Funktion a = a(;y) erweist sich nach (8.) als differenzierbar,
, . da
und zwar ergibt sich für ihre Ableitung a = a (3;) =- der Wert
^ ^ d3?
(M.)
a = zu
(A
Nach diesen Vorbereitungen wollen wir nun eine lineare Dif-
ferentialgleichung vom Typus A bilden, deren eines Integral