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https://doi.org/10.11588/diglit.36394#0016
16 (A.9)
OSKAR PERRON:
z —?'>n —e>0
ist. Dann wäre aber
— e + u (a — e) < z' + z (z — ?') = 6* < e ,
und das ist, wenn e klein genug gewählt wird, ein Widerspruch.
Zweiter Fall. Für 3^3^ ist durchweg y,y'<fO. Dabei ist ge-
wiß 7/F 0. Denn wenn etwa ^(3^) = 0, so ist yA 0, weil andern-
falls das Integral ?/ identisch verschwinden würde; daher hat man
weiter für 3? = 3^:
(?w)' - = ^>0 .
sodaß ?/?/' an der Stelle ^ wächst, also positiv wird, während doch
dauernd y</<0 sein soll.
Hiernach können wir wieder die Substitution (23.) anwenden
und unsere Differentialgleichung in (24.) überführen. Alsdann ist
jetzt dauernd z<0, und wir haben nur zu zeigen, daß limz = 0 ist.
Nehmen wir also an, es sei im Gegenteil
lim inf z < — u ,
wo u eine positive. Zahl ist. Dann wird die Ungleichung z< —a
für gewisse beliebig große Werte von 3? richtig sein. Wegen (22.)
läßt sich also jedenfalls ein Wert 3^ angeben derart, daß
.? < — für 3: > ,
2 ^
z < — u für a? -
ist. Diese letzte Ungleichung bleibt dann aber auch für 3?>^ be-
stehen. Denn andernfalls sei 3^ die untere Grenze derjenigen
Werte 3?(>3?J, für die sie nicht gilt; dann ist
= z'^AO;
also nach (24.) für 3? = ^:
OSKAR PERRON:
z —?'>n —e>0
ist. Dann wäre aber
— e + u (a — e) < z' + z (z — ?') = 6* < e ,
und das ist, wenn e klein genug gewählt wird, ein Widerspruch.
Zweiter Fall. Für 3^3^ ist durchweg y,y'<fO. Dabei ist ge-
wiß 7/F 0. Denn wenn etwa ^(3^) = 0, so ist yA 0, weil andern-
falls das Integral ?/ identisch verschwinden würde; daher hat man
weiter für 3? = 3^:
(?w)' - = ^>0 .
sodaß ?/?/' an der Stelle ^ wächst, also positiv wird, während doch
dauernd y</<0 sein soll.
Hiernach können wir wieder die Substitution (23.) anwenden
und unsere Differentialgleichung in (24.) überführen. Alsdann ist
jetzt dauernd z<0, und wir haben nur zu zeigen, daß limz = 0 ist.
Nehmen wir also an, es sei im Gegenteil
lim inf z < — u ,
wo u eine positive. Zahl ist. Dann wird die Ungleichung z< —a
für gewisse beliebig große Werte von 3? richtig sein. Wegen (22.)
läßt sich also jedenfalls ein Wert 3^ angeben derart, daß
.? < — für 3: > ,
2 ^
z < — u für a? -
ist. Diese letzte Ungleichung bleibt dann aber auch für 3?>^ be-
stehen. Denn andernfalls sei 3^ die untere Grenze derjenigen
Werte 3?(>3?J, für die sie nicht gilt; dann ist
= z'^AO;
also nach (24.) für 3? = ^: