§ 18
Eigenschaften der zulässigen und der beständigen Folgen
Bedeutet p eine Primzahl, so ist die Kongruenz (mod. p)
stets lösbar, wenn A inkongruent p ist, und besitzt eine und
nur eine Hauptlösung im Bereich der Zahlen 0,1,2,...,p — l.
Hat man % verschiedene Primzahlen ?i,%, ? so besitzen die
a gleichzeitigen Kongruenzen 2 EEa^ (mod. für r = l, 2,...,a, in
denen die Zahlen a„ immer dem Bereich von 0 bis <y„—1 angehören
mögen, stets eine und nur eine Hauptlösung im Bereich der Zah-
len von 1 bis (7 = <yi-</2.Jede Zahl dieses Bereichs läßt
sich nämlich auf eine pinzige Art in der Form &i+&g?i + &3?i?2 +
-darstellen, wenn die Koeffizienten den Be-
reichen 0,1, 2,...,g„—1 entnommen werden, und damit die % Kon-
gruenzen a^, (mod.%„) erfüllt sind, muß der Reihe nach
&i ^ (mod. &2 ^ = ao (mod. %),...
- - - + ^2 + ^3 ^2 + ''' + ^ ^ (mod.
sein. Hieraus folgt, daß umgekehrt jeder Zahl des Bereichs
1,2,..., <2 ein einziges Rest System a^, a^, ...,a^ bezüglich der
Primmoduln ...,g„ zugeordnet ist. Damit eine dieser Zahlen
den Teiler ^ besitzt, ist es notwendig und hinreichend, daß der
zugehörige Rest a„ gleich Null ist. Im Bereich der Zahlen von
1 bis (2 gibt es daher (^ —1) (?2*J) "* (?,t**J) Zahlen, die durch
keine der a Primzahlen teilbar sind, und ihnen sind
diejenigen (?i —1) (?2^J) (?„"J) Restsysteme zugeordnet, bei
denen keiner der Reste den Wert Null hat.
Betrachtet man im besonderen die r + 1 ersten Primzahlen
Po=2, Pi=3, pa=5,...,p,, so folgt, daß jede Lückenzahl r-ter
* L. EuLER, Solutio problematis arithmetici de inveniendo numero, qui
per datos numeros divisus relinquat data residua, Comment. Petrop. 7
(1734/5), 1740, 8. 46; Opera omnia, ser. I, vol. 2, 8. 18.
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Eigenschaften der zulässigen und der beständigen Folgen
Bedeutet p eine Primzahl, so ist die Kongruenz (mod. p)
stets lösbar, wenn A inkongruent p ist, und besitzt eine und
nur eine Hauptlösung im Bereich der Zahlen 0,1,2,...,p — l.
Hat man % verschiedene Primzahlen ?i,%, ? so besitzen die
a gleichzeitigen Kongruenzen 2 EEa^ (mod. für r = l, 2,...,a, in
denen die Zahlen a„ immer dem Bereich von 0 bis <y„—1 angehören
mögen, stets eine und nur eine Hauptlösung im Bereich der Zah-
len von 1 bis (7 = <yi-</2.Jede Zahl dieses Bereichs läßt
sich nämlich auf eine pinzige Art in der Form &i+&g?i + &3?i?2 +
-darstellen, wenn die Koeffizienten den Be-
reichen 0,1, 2,...,g„—1 entnommen werden, und damit die % Kon-
gruenzen a^, (mod.%„) erfüllt sind, muß der Reihe nach
&i ^ (mod. &2 ^ = ao (mod. %),...
- - - + ^2 + ^3 ^2 + ''' + ^ ^ (mod.
sein. Hieraus folgt, daß umgekehrt jeder Zahl des Bereichs
1,2,..., <2 ein einziges Rest System a^, a^, ...,a^ bezüglich der
Primmoduln ...,g„ zugeordnet ist. Damit eine dieser Zahlen
den Teiler ^ besitzt, ist es notwendig und hinreichend, daß der
zugehörige Rest a„ gleich Null ist. Im Bereich der Zahlen von
1 bis (2 gibt es daher (^ —1) (?2*J) "* (?,t**J) Zahlen, die durch
keine der a Primzahlen teilbar sind, und ihnen sind
diejenigen (?i —1) (?2^J) (?„"J) Restsysteme zugeordnet, bei
denen keiner der Reste den Wert Null hat.
Betrachtet man im besonderen die r + 1 ersten Primzahlen
Po=2, Pi=3, pa=5,...,p,, so folgt, daß jede Lückenzahl r-ter
* L. EuLER, Solutio problematis arithmetici de inveniendo numero, qui
per datos numeros divisus relinquat data residua, Comment. Petrop. 7
(1734/5), 1740, 8. 46; Opera omnia, ser. I, vol. 2, 8. 18.
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