Summen und Differenzen ungerader Primzahlen. 111.
(A. 14) 5
ner der Primzahlen 3,5, ...,p^ ein vollständiges Rest-
system ausmachen.
Beweis. Die Bedingung ist für die Zulässigkeit auf allen
Stufen r<7? notwendig und hinreichend. Für Stufen, bei denen
ist, wird aber die Anzahl der Reste, 4 + 1, von selbst kleiner
alsp, h
Zwei Folgen von je 4 + 1 geraden Zahlen, bei denen ent-
sprechende Glieder sich um Vielfache von 2 Lp unterscheiden,
haben gegen die Primzahlen 3, 5, ...,p, dieselben Reste. Mithin
entstehen sämtliche auf der r-ten Stufe zulässige 4-gliedrige Diffe-
renzenfolgen aus einer endlichen Anzahl von Grund folgen, bei
denen die Zahlen 2di,...,2da der Reihe 2, 4, 6, ...,2P, angehören.
Die Folgen, die sich daraus durch Hinzufügen von Vielfachen der
Zahl 2 Lp ergeben, sollen abgeleitete Folgen heißen.
Die Anzahl der verschiedenen Reste der 4 + 1 Teilsummen
(2op) gegen p^ werde mit F(p^) bezeichnet. Der kleinste Wert,
den F(pJ haben kann, ist Eins; der gemeinsame Rest der Teil-
summen und daher auch der Differenzen ist dann Null. Haben
umgekehrt alle Differenzen den Teiler p^,, so ist F(p„) = l. Diese
Gleichung gilt demnach für alle ungeraden Primzahlen, die in dem
größten gemeinsamen Teiler der 4 Differenzen 2^,...,24^ auf-
gehen, und nur für diese. Solchen Primzahlen soll in bezug auf
die betrachtete Differenzenfolge Minimalcharakter zugeschrie-
hen werden.
Der größte Wert) den F(pJ haben kann, ist p^ —1; er kann
nur erreicht werden, falls p<)L? + l ist. Die Primzahl p^, habe dann
m bezug auf die betrachtete Differenzenfolge Maximalcharak-
ter. Jetzt gibt es nur einen Nichtrest p,, sodaß die Lage der zu-
gehörigen Lückenzahlen gegen die Vielfachen von p^, eindeutig
bestimmt ist.
Im allgemeinen liegt F(pJ zwischen 1 und p^ —1, und zwar
ist von einer gewissen Stufenzahl a ab immer F(p^) = 4 + 1. Wenn
nämlich die Teilsummen 2(p, und 2cp(K>2) gegen p^ gleiche Reste
liefern, so ist 2u„ —2<^= 2%p^ durch p„ teilbar, folglich finden sich
gleiche Reste nur bei den Primzahlen, die als Teiler in den ^-4(4+1)
Differenzen 2w^^ enthalten sind. Die hierdurch erklärte Zahl a
fällt zusammen mit der in §11 (Teil II, S. 16) auftretenden Zahl ct.
i Die hier mit bezeichnete Zahl ist in § 11 (Teil II, 8. 16) A: genannt
worden.
(A. 14) 5
ner der Primzahlen 3,5, ...,p^ ein vollständiges Rest-
system ausmachen.
Beweis. Die Bedingung ist für die Zulässigkeit auf allen
Stufen r<7? notwendig und hinreichend. Für Stufen, bei denen
ist, wird aber die Anzahl der Reste, 4 + 1, von selbst kleiner
alsp, h
Zwei Folgen von je 4 + 1 geraden Zahlen, bei denen ent-
sprechende Glieder sich um Vielfache von 2 Lp unterscheiden,
haben gegen die Primzahlen 3, 5, ...,p, dieselben Reste. Mithin
entstehen sämtliche auf der r-ten Stufe zulässige 4-gliedrige Diffe-
renzenfolgen aus einer endlichen Anzahl von Grund folgen, bei
denen die Zahlen 2di,...,2da der Reihe 2, 4, 6, ...,2P, angehören.
Die Folgen, die sich daraus durch Hinzufügen von Vielfachen der
Zahl 2 Lp ergeben, sollen abgeleitete Folgen heißen.
Die Anzahl der verschiedenen Reste der 4 + 1 Teilsummen
(2op) gegen p^ werde mit F(p^) bezeichnet. Der kleinste Wert,
den F(pJ haben kann, ist Eins; der gemeinsame Rest der Teil-
summen und daher auch der Differenzen ist dann Null. Haben
umgekehrt alle Differenzen den Teiler p^,, so ist F(p„) = l. Diese
Gleichung gilt demnach für alle ungeraden Primzahlen, die in dem
größten gemeinsamen Teiler der 4 Differenzen 2^,...,24^ auf-
gehen, und nur für diese. Solchen Primzahlen soll in bezug auf
die betrachtete Differenzenfolge Minimalcharakter zugeschrie-
hen werden.
Der größte Wert) den F(pJ haben kann, ist p^ —1; er kann
nur erreicht werden, falls p<)L? + l ist. Die Primzahl p^, habe dann
m bezug auf die betrachtete Differenzenfolge Maximalcharak-
ter. Jetzt gibt es nur einen Nichtrest p,, sodaß die Lage der zu-
gehörigen Lückenzahlen gegen die Vielfachen von p^, eindeutig
bestimmt ist.
Im allgemeinen liegt F(pJ zwischen 1 und p^ —1, und zwar
ist von einer gewissen Stufenzahl a ab immer F(p^) = 4 + 1. Wenn
nämlich die Teilsummen 2(p, und 2cp(K>2) gegen p^ gleiche Reste
liefern, so ist 2u„ —2<^= 2%p^ durch p„ teilbar, folglich finden sich
gleiche Reste nur bei den Primzahlen, die als Teiler in den ^-4(4+1)
Differenzen 2w^^ enthalten sind. Die hierdurch erklärte Zahl a
fällt zusammen mit der in §11 (Teil II, S. 16) auftretenden Zahl ct.
i Die hier mit bezeichnete Zahl ist in § 11 (Teil II, 8. 16) A: genannt
worden.